RC·RL 과도 현상: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 RC·RL 과도 현상 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: RC 충전, RL 회로, 초기 전하가 있는 커패시터.

무료 연습 문제쉬움
+−Vs​5 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​

t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 10 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 5 VR = 1 kΩC = 33 µFt = 10 ms
V
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RC·RL 과도 현상 무료로 연습하기지금 RC·RL 과도 현상 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움RC 충전
  2. 보통RL 회로
  3. 어려움초기 전하가 있는 커패시터

RC·RL 과도 현상 문제 푸는 방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

흔한 실수

  • 방전 회로에 충전 공식을 쓰는 것.
  • 단위를 섞는 것: kΩ × µF는 s가 아니라 ms입니다.
  • 시정수에 잘못된 저항을 쓰는 것.

핵심 공식

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

RC·RL 과도 현상 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 저항의 직렬·병렬

1과도 현상이란 무엇인가

저항만 있는 회로에서 스위치를 닫으면 모든 전류가 즉시 새 값으로 뜁니다.

커패시터나 인덕터는 이를 바꿉니다. 에너지를 저장하며, 저장된 에너지는 0의 시간에 바뀔 수 없습니다. 그래서 회로는 이전 상태에서 새 상태로 매끄럽게 이동합니다.

이 매끄러운 변화를 과도 현상이라고 합니다. 얼마 뒤 회로가 안정되면 더 이상 아무것도 변하지 않습니다.

좁은 호스로 양동이를 채우는 것을 생각해 보세요. 양동이가 커패시터이고 좁은 호스가 저항입니다. 수위는 처음에 빠르게 오르다가 양동이가 차면서 점점 느려집니다.

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​
자가 점검 충전되지 않은 커패시터가 저항을 통해 12 V 전원에 연결된다. 스위치를 닫은 직후 커패시터 전압은 얼마인가?
  1. 0 V
  2. 12 V
  3. 4.4 V
  4. 6 V

답: 0 V. 커패시터 전압은 뛸 수 없습니다. 스위치를 닫기 직전에 0 V였으므로 직후에도 0 V입니다. 12 V에 이르는 것은 오랜 시간이 지난 뒤뿐입니다.

2처음과 끝의 커패시터와 인덕터

각 소자에 필요한 규칙은 둘뿐입니다. 무엇이 뛸 수 없는지, 그리고 모든 것이 안정된 뒤에 어떻게 동작하는지.

  • 커패시터: 전압 vC는 뛸 수 없습니다. 스위칭 한참 뒤에는 전류가 흘러들지 않으므로 개방 회로(끊어진 곳)처럼 동작합니다.
  • 인덕터: 전류 iL은 뛸 수 없습니다. 스위칭 한참 뒤에는 양단 전압이 없으므로 단락 회로(도선)처럼 동작합니다.

스위칭 직후의 값이 초깃값 x(0)입니다. 안정된 뒤의 값이 최종값 x(∞)입니다.

전원 Vs에서 충전되는 커패시터는 vC(0) = 0이고 vC(∞) = Vs입니다. 인덕터는 i(0) = 0이고 i(∞) = Vs/R입니다.

자가 점검 12 V 전원이 인덕터와 직렬인 20 Ω 저항을 구동한다. 스위치를 닫은 한참 뒤에 흐르는 전류는 얼마인가?
  1. 0 A
  2. 0.6 A
  3. 1.67 A
  4. 240 A

답: 0.6 A. 안정되면 인덕터는 그냥 도선이므로 저항만 전류를 제한합니다: 12/20 = 0.6 A. 0 A는 끝이 아니라 스위칭 직후의 값입니다.

3시정수

변화가 얼마나 빨리 일어나는지는 시정수 τ(타우)라는 하나의 수가 정합니다.

τ = R·C τ = L/R

단위: kΩ 곱하기 µF는 밀리초입니다. mH 나누기 Ω도 밀리초입니다.

모든 전압과 전류는 초깃값과 최종값 사이에서 같은 지수 곡선을 따릅니다.

x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
tvC​Vs​0.63·Vs​τ2τ3τ4τ5τ
  • 1τ 뒤에 변화는 63% 완료됩니다. 2τ 뒤에는 86%, 3τ 뒤에는 95%입니다.
  • 약 5τ 뒤에는 회로가 실질적으로 안정됩니다.

0 V에서 시작해 충전되는 커패시터에서는 공식이 다음과 같이 됩니다.

vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
자가 점검 4.7 kΩ 저항과 10 µF 커패시터의 시정수는 얼마인가?
  1. 0.47 ms
  2. 2.13 ms
  3. 47 ms
  4. 47 s

답: 47 ms. τ = R·C = 4.7 kΩ · 10 µF = 47 ms입니다. kΩ 곱하기 µF는 밀리초이기 때문입니다. 곱하는 대신 나누면 2.13 ms가 됩니다.

4단계별 방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값 x(0)을 구하세요. vC와 iL은 뛸 수 없다는 규칙을 쓰세요.
  2. 최종값 x(∞)를 구하세요. 커패시터는 끊어진 곳으로, 인덕터는 도선으로 바꾸고 직류 회로를 푸세요.
  3. 시정수를 구하세요: τ = R·C 또는 τ = L/R. 커패시터나 인덕터가 보는 저항을 쓰세요.
  4. 세 값을 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ에 넣으세요.
  5. τ와 같은 단위로 시간 t를 넣고 계산하세요.

대신 시간을 묻는다면 같은 공식을 t에 대해 푸세요. 자연 로그 ln이 필요합니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

스위치가 t = 0에서 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. 시정수와 t = 100 ms에서의 커패시터 전압 vC를 구하시오.

1

회로 살펴보기

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​i

스위치가 Vs = 10 V를 R = 10 kΩ을 통해 커패시터에 연결합니다. C = 10 µF.

2

초깃값과 최종값

커패시터는 충전되어 있지 않고 전압은 뛸 수 없으므로 vC(0) = 0 V입니다.

한참 뒤에는 전류가 흐르지 않으므로 R 양단에 전압이 없습니다. 10 V 전체가 C에 걸립니다.

vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3

시정수

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4

t = 100 ms에서의 전압

여기서 t는 정확히 시정수 하나이므로 t/τ = 1입니다.

vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0.368) = 6.32 V
5

답 검산

시정수 하나 뒤에 커패시터는 63% 충전되어야 합니다. 10 V의 63%는 6.3 V이므로 답이 맞습니다.

또한 충전되는 커패시터가 그래야 하듯 10 V 전원보다 낮습니다.

답

t = 100 ms에서 τ = 100 ms이고 vC = 6.32 V입니다.

6흔한 실수

  • 커패시터가 이미 전압을 가지고 있는데 충전 공식 Vs·(1 − e−t/τ)을 쓰는 것. x(0)이 있는 일반 공식을 쓰세요.
  • 단위를 섞는 것: kΩ 곱하기 µF는 초가 아니라 밀리초입니다. t와 τ를 같은 단위로 두세요.
  • Vs·e−t/τ로 답하는 것. 그것은 아직 모자라는 부분(또는 저항 전압)이지 커패시터 전압이 아닙니다.
  • τ에 잘못된 저항을 쓰는 것. 커패시터나 인덕터가 보는 저항을 쓰세요.
자가 점검 커패시터가 4 V를 가진 채로 10 V 전원에 연결된다. 시정수 하나 뒤의 vC는 얼마인가? (e−1 ≈ 0.368)
  1. 10.32 V
  2. 2.21 V
  3. 6.32 V
  4. 7.79 V

답: 7.79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0.368 = 7.79 V. 충전 공식만 쓰면 6.32 V가 되는데, 처음의 4 V를 무시한 값입니다. 2.21 V는 아직 모자라는 부분입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 예제처럼 0 V에서 시작하는 RC 충전. τ나 주어진 시각의 커패시터 전압을 구합니다.
  • 보통: 인덕터 전류가 0에서 시작하는 RL 회로. i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), 인덕터 전압 vL = Vs·e−t/τ, 또는 최종 전류의 일정 퍼센트에 이르는 시간을 구합니다.
  • 어려움: 이미 전압을 가진 커패시터. 주어진 시각의 vC나 주어진 전압에 이르는 시간을 구합니다.

시간을 구하려면 일반 공식을 정리하세요.

t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]

τ = L/R에서 mH 나누기 Ω은 ms입니다. 따라서 10 Ω과 50 mH 인덕터의 τ는 5 ms입니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
R = 1 kΩt = 0C68 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

커패시터는 5 V로 충전되어 있다. t = 0에 스위치가 닫히고 커패시터는 R을 통해 방전된다. t = 50 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms

구하는 값: vC (V)

힌트 보기
  1. 1차 RC 회로의 시정수는 τ = RC. R을 kΩ, C를 µF로 하면 τ는 ms입니다.
  2. 전원이 없으면 커패시터 전압은 0을 향해 감쇠합니다: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
  3. τ = 68 ms.
정답과 단계별 풀이 보기

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

kΩ × µF는 밀리초입니다.

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

방전 곡선

커패시터는 저장된 전압에서 시작해 0 V를 향해 감쇠합니다.

vC(t) = 5·e−50/68 = 2.397 V

답

vC = 2.397 V
예제 2보통
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 75%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH

구하는 값: t (ms)

힌트 보기
  1. RL 회로에서 τ = L/R. L을 mH, R을 Ω로 하면 τ는 ms입니다.
  2. 스위치를 닫은 직후 인덕터 전류는 아직 0이고, 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 되므로 i(∞) = Vs/R.
  3. τ = 3 ms, i(∞) = 0.12 A.
정답과 단계별 풀이 보기

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0.12 A

시간에 대해 풀기

0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −3·ln(0.25) = 4.159 ms

답

t = 4.159 ms
예제 3어려움
+−Vs​6 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. vC이(가) 8.4 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V

구하는 값: t (ms)

힌트 보기
  1. 1차 회로의 일반해 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 사용합니다.
  2. 여기서 x(0)은 커패시터에 저장된 전압, x(∞)는 전원 전압입니다. 정상 상태에서는 커패시터에 전류가 흐르지 않기 때문입니다.
  3. τ = 100 ms.
정답과 단계별 풀이 보기

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

8.4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (8.4 − 6)/(18 − 6) = 0.2
t = τ·ln((18 − 6)/(8.4 − 6)) = 100·ln(5) = 160.9 ms

답

t = 160.9 ms

질문과 답변

RC·RL 과도 현상: 무엇인가요?

저항만 있는 회로에서 스위치를 닫으면 모든 전류가 즉시 새 값으로 뜁니다.

이 매끄러운 변화를 과도 현상이라고 합니다. 얼마 뒤 회로가 안정되면 더 이상 아무것도 변하지 않습니다.

RC·RL 과도 현상 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
RC·RL 과도 현상에서 자주 하는 실수는?
  • 방전 회로에 충전 공식을 쓰는 것.
  • 단위를 섞는 것: kΩ × µF는 s가 아니라 ms입니다.
  • 시정수에 잘못된 저항을 쓰는 것.
RC·RL 과도 현상 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: RC 충전
  • 보통: RL 회로
  • 어려움: 초기 전하가 있는 커패시터

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

이 주제의 앞뒤 주제

먼저 배우기

저항의 직렬·병렬

다음 단계

DC-DC 컨버터계단 응답

계산기

RC 시정수 계산기커패시터 계산기(직렬, 병렬, 전하, 에너지)

이 주제가 포함된 강의

회로이론 1회로이론 2: 교류 회로전기공학개론물리학 2: 전기와 자기전자회로 1FE Electrical and Computer 시험 대비

전기의 다른 주제

저항의 직렬·병렬중첩의 원리테브난·노턴마디 해석망 해석교류 임피던스와 페이저교류 전력과 역률LC 공진, Q 인자, 대역폭3상 전력변압기직류 전동기연산 증폭기 회로다이오드와 트랜지스터DC-DC 컨버터디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지데이터 수집과 표본화라플라스 변환블록선도계단 응답보드 선도와 여유안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적정상상태 오차와 PID 제어합성곱과 LTI 시스템

인쇄용 학습지

정답이 있는 RC·RL 과도 현상 학습지
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