블록선도: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1블록선도란

제어 시스템은 부품의 사슬입니다: 제어기, 전동기, 센서. 블록선도는 각 부품을 상자로, 각 신호를 화살표로 그립니다.

블록은 입력 신호에 이득 또는 전달함수 G를 곱합니다. G = 5인 블록에 3이 들어가면 15가 나옵니다.

합산점(원)은 신호를 더하거나 뺍니다. 들어오는 각 화살표 옆의 부호가 어느 쪽인지 알려 줍니다. 점은 인출점입니다: 신호가 나뉘는 것이 아니라 복사됩니다.

이것은 제어에서 가장 중요한 그림입니다. 출력 C를 H로 측정하여 기준 R에서 뺍니다. 그 차이 E = R − H·C가 G를 구동하는 오차입니다.

이것이 부귀환입니다: 출력이 너무 높으면 오차가 줄어 출력을 다시 끌어내립니다.

2어떤 선도든 간단히 하는 세 가지 규칙

선도를 한 블록이 남을 때까지 단계별로 줄입니다. 그 이득 T = C/R이 폐루프 전달함수입니다.

• 직렬: 차례로 이어진 블록은 곱합니다, G₁·G₂.
• 병렬: 같은 합산점으로 들어가는 블록은 합산점의 부호를 따라 더합니다: G₁ + G₂ 또는 G₁ − G₂.
• 귀환 루프: 부귀환 H가 있는 전향 블록 G는 G/(1 + G·H)가 됩니다.

귀환 규칙은 두 식에서 나옵니다. 합산점에서 E = R − H·C이고, 블록은 C = G·E를 줍니다. 따라서 C = G·R − G·H·C이고 그러므로:

정귀환에서는 신호가 합산점에서 더해지며, 분모의 부호가 바뀝니다: T = G/(1 − G·H).

곱 G·H가 루프 이득입니다. 이것이 크면 T는 1/H에 가까워집니다: 이득을 정하는 것은 플랜트가 아니라 센서입니다.

3전달함수가 있는 루프

실제 블록은 s에 따라 달라집니다. 예를 들어 전동기 G(s) = b/(s + a). 같은 규칙이 적용됩니다. 그 뒤에 분수 속의 분수를 정리합니다.

단위 귀환(H = 1)에서는 G/(1 + G)의 분자와 분모에 (s + a)를 곱하세요:

• 폐루프 극점은 분모의 근입니다: p = −(a + b). 개루프 극점 −a보다 더 왼쪽에 있으므로 루프가 더 빠릅니다.
• 시정수는 τ = 1/(a + b)입니다.
• DC 이득은 T(0) = b/(a + b)입니다. 크기 A의 계단 입력은 c_ss = A·T(0)에서 안정됩니다.
• 센서 이득 H가 있으면 분모는 s + a + b·H가 됩니다.

정상상태 오차 e_ss는 안정된 뒤에 R − C에 남는 값입니다. 단위 귀환에서는 오차 상수를 쓰세요:

• 크기 A의 계단 입력에서: e_ss = A/(1 + K_p), 위치 상수 K_p = G(0).
• 램프 r(t) = A·t에서: e_ss = A/K_v, 속도 상수 K_v = lim_s→0 s·G(s).

G(s) = 8/(s(s + 4))에서는 인수 s가 약분됩니다: K_v = 8/4 = 2. 램프 r(t) = 1·t는 e_ss = 1/2 = 0.5를 남깁니다.

G(s) = K/(s(s + 6))과 같은 2차 루프의 폐루프는 s² + 6s + K = 0입니다. 같은 두 실근(임계 감쇠)에는 6² = 4K가 필요하므로 K = 9입니다.

4단계별 방법

1. 가장 안쪽 루프를 찾으세요. G/(1 + G·H)로 먼저 줄이세요. 정귀환이면 G/(1 − G·H).
2. 직렬 블록은 합치고(곱하기) 병렬 블록은 합산점의 부호에 따라 더하세요.
3. 한 블록이 남을 때까지 반복하세요. 그 블록이 T(s) = C/R입니다.
4. 분수를 정리하세요: G(s)의 분모들을 분자와 분모에 곱하세요.
5. 묻는 것을 읽으세요: 극점은 분모에서, 정상상태는 T(0)에서, 1차 루프의 τ = 1/(극점 크기).

간단한 확인: s = 0에서는 선도를 단순한 수로 줄일 수 있습니다. 그러면 T(0)을 바로 얻고 대부분의 대수 실수를 잡아냅니다.

5풀이 예제

이것은 작은 루프가 있는 전형적인 보통 문제입니다. 열어 보기 전에 각 단계를 시도해 보세요.

6흔한 실수

• 부귀환에 1 − G·H를 쓰기. 부귀환은 1 + G·H, 정귀환은 1 − G·H입니다.
• H를 분자에 놓기. T = G/(1 + G·H): H는 루프 이득에만 나타납니다.
• 안쪽 루프보다 바깥쪽 루프를 먼저 닫기. 항상 안에서 바깥으로 작업하세요.
• 극점에서 센서 이득 H를 잊기: 분모는 s + a + b가 아니라 s + a + b·H입니다.
• 개루프 극점 −a나 개루프 이득 G(0)을 답으로 주기. 귀환은 둘 다 바꿉니다.
• 계단 오차에 A/K_p를 쓰기. 올바른 공식은 A/(1 + K_p)입니다.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 직렬, 병렬, 귀환. 루프의 이득, 부호가 있는 병렬 블록, 또는 정귀환을 줄입니다. 또는 b/(s + a) 둘레에 단위 루프를 닫고 극점, τ, T(0) 또는 c_ss를 답합니다.
• 보통: 폐루프 전달함수와 오차. 예와 같은 작은 루프, 센서 이득 H, 임계 감쇠를 위한 이득 K, 또는 계단이나 램프의 정상상태 오차.
• 어려움: 외란, 안정성, 극점. 플랜트 입력에 더해지는 외란 D, 또는 라우스–후르비츠 판별법으로 안정성을 위한 최대 이득 K_max.

외란에는 중첩을 쓰세요: D = 0으로 R에서 C를 구하고, R = 0으로 D에서 C를 구한 다음 둘을 더하세요.