안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 라우스 표와 극점 개수, 안정하기 위한 K의 범위, 근궤적.

무료 연습 문제쉬움
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

피드백 시스템의 특성다항식이 Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2입니다. 라우스 표를 만들어 Q(s)의 근 중 우반평면에 있는 개수 N을(를) 구하시오.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

정확한 답: 정수, 반올림하지 않음.

다음 문제 →
안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 무료로 연습하기지금 안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움라우스 표와 극점 개수
  2. 보통안정하기 위한 K의 범위
  3. 어려움근궤적

안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 문제 푸는 방법

  1. 폐루프 특성다항식을 쓰세요. 1 + K·G(s) = 0의 분모를 전개한 것입니다.
  2. 계수를 번갈아 라우스 표의 처음 두 행에 넣고 나머지 행을 만드세요.
  3. 첫 번째 열의 부호 변화를 세세요. 하나하나가 우반평면의 극점입니다. 표에 K가 들어 있으면 첫 번째 열의 모든 항이 양수로 유지되도록 하세요.
  4. 근궤적에서는 극점과 영점, 실수축 구간, 중심점에서 나오는 점근선, dK/ds = 0인 분기점을 표시하세요. 한 점에서의 이득은 K = 1/|G(s)|로 구합니다.

흔한 실수

  • 계수가 모두 양수라는 이유로 시스템이 안정하다고 결론짓는 것. 3차 이상에서는 그것만으로 충분하지 않습니다.
  • K를 더할 때 플랜트의 상수항을 잊는 것: 원점에서 떨어진 극점이 세 개이면 s⁰ 항은 abc + K입니다.
  • 근처에 세 번째 극점이나 영점이 있는데도 두 극점의 중점을 분기점으로 잡는 것.
  • 중심점 공식에서 극점의 위치를 부호 없이 쓰는 것.

핵심 공식

안정도
특성다항식의 모든 근이 좌반평면에 있음
라우스 표, 3차식의 s¹ 항
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
우반평면의 근
첫 번째 열의 부호 변화 횟수
3차식 s³ + a₂s² + a₁s + a₀
모든 a > 0이고 a₂·a₁ > a₀일 때 안정
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
특성방정식
1 + K·G(s) = 0
점근선
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
분기점과 합류점
dK/ds = 0
크기 조건
K = 1/|G(s)|
출발각
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 라플라스 변환, 블록선도

1안정이란 무엇인가

시스템은 모든 유계 입력에 대해 유계 출력이 나올 때 안정합니다. 외란 후에 안정한 시스템은 가라앉고, 불안정한 시스템은 발산하거나 진폭이 커지며 진동합니다.

그 거동은 폐루프의 극점, 즉 특성다항식의 근이 정합니다. s = p에 있는 극점은 응답에 ept 항을 더합니다.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • 실수부가 음인 극점(좌반평면)은 사라지는 항을 줍니다.
  • 실수부가 양인 극점(우반평면)은 한없이 커지는 항을 줍니다.
  • 따라서 시스템은 모든 극점이 좌반평면에 있을 때만 안정합니다.
자가 점검 폐루프의 극점이 −3, −1 + j2, −1 − j2, +0.5에 있습니다. 안정합니까?
  1. 아니요, +0.5의 극점 때문에 불안정하다
  2. 아니요, 복소수 극점은 항상 시스템을 불안정하게 하기 때문이다
  3. 예, 네 극점 중 세 개가 좌반평면에 있기 때문이다
  4. 예, 복소수 극점의 실수부가 음이기 때문이다

답: 아니요, +0.5의 극점 때문에 불안정하다. 우반평면의 극점 하나만으로 충분합니다. 그 항 e0.5t가 커집니다. 좌반평면의 복소수 극점은 문제없으며 감쇠하는 진동을 줍니다.

2라우스 표

3차 이상에서는 손으로 근을 구하기 어렵습니다. 라우스–후르비츠 판별법은 근을 풀지 않고도 우반평면에 근이 몇 개 있는지 알려 줍니다.

계수를 번갈아 처음 두 행에 적으세요. s³ + a₂s² + a₁s + a₀에서는 다음과 같습니다.

s³: 1, a1 s²: a2, a0

새 행은 바로 위 두 행에서 만듭니다. 3차식에서 s¹ 항은 다음과 같습니다.

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 근의 개수와 같습니다.

예: s³ + 2s² + 3s + 10. 첫 번째 열은 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10입니다. 부호는 +, +, −, +로 두 번 바뀌므로 극점 두 개가 우반평면에 있습니다.

자가 점검 s³ + 4s² + 5s + 2에서 s¹ 행의 첫 항은 얼마입니까?
  1. 18
  2. 4.5
  3. 5
  4. −4.5

답: 4.5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4.5. 4로 나누는 것을 잊으면 18이 되고, 곱을 맞바꾸면 −4.5가 됩니다.

3단계별 방법

  1. 폐루프 특성방정식 1 + K·G(s) = 0을 쓰고 전개해서 다항식으로 만드세요.
  2. 계수로 라우스 표의 처음 두 행을 채우세요.
  3. 나머지 행을 만드세요. K가 나타나면 기호로 유지합니다.
  4. 첫 번째 열의 부호 변화를 세거나, 첫 번째 열의 모든 항이 양수가 되도록 하여 K의 허용 범위를 구하세요.
  5. 한계 이득에서는 s¹ 행이 0입니다. 그러면 s² 행이 보조방정식 a·s² + b = 0을 주며, 그 근 ±jω가 진동 주파수를 나타냅니다.

3차식 s³ + a₂s² + a₁s + a₀의 빠른 판정: 모든 계수가 양수이고 a₂·a₁ > a₀일 때, 그리고 그때만 안정합니다.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

아래 루프는 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))입니다. 어떤 이득 K에서 폐루프가 안정하며, 한계에서 어떤 주파수로 진동합니까?

1

루프 살펴보기

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

특성방정식은 1 + L(s) = 0이므로 s(s + 2)(s + 4) + K = 0입니다.

2

전개하기

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

라우스 표 만들기

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

s¹ 항은 (6·8 − 1·K)/6입니다.

4

첫 번째 열을 양수로 유지하기

s⁰ 행에서 K > 0. s¹ 행에서 48 − K > 0이므로 K < 48.

5

한계에서의 주파수

K = 48에서 s¹ 행은 0입니다. s² 행에서 6s² + 48 = 0이므로 s² = −8입니다.

ω = √8 = 2.83 rad/s
6

답 검산

K = 48에서 다항식은 s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8)입니다. 근은 −6과 ±j2.83으로 예상과 같습니다.

답

루프는 0 < K < 48에서 안정하며, K = 48에서 ω = 2.83 rad/s로 진동합니다.

5근궤적

근궤적은 K가 0에서 ∞까지 변할 때 폐루프 극점이 어떻게 이동하는지 보여 줍니다. 개루프 극점(×)에서 시작해 개루프 영점(○) 또는 무한대에서 끝납니다.

  • 실수축 위의 점은 그 오른쪽에 있는 실수 극점과 영점의 개수가 홀수일 때 근궤적 위에 있습니다.
  • 무한대로 가는 n − m개의 가지는 각도 (2q + 1)·180°/(n − m)의 점근선을 따릅니다.
  • 점근선은 중심점 σa = (Σ 극점 − Σ 영점)/(n − m)에서 출발합니다.
  • 가지는 dK/ds = 0인 곳에서 실수축을 떠나거나 만나며, 실수축 위에서 K = −1/G(s)입니다.
  • 근궤적 위의 임의의 점 s에서의 이득은 K = 1/|G(s)|이며, 극점까지 거리의 곱을 영점까지 거리의 곱으로 나눈 값입니다.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))에서 중심점은 (0 − 2 − 4)/3 = −2이고, 점근선은 60°, 180°, 300°로 뻗어 나갑니다.

ReIm0−2−460°

0과 −2 사이의 분기점은 dK/ds = 0에서 나옵니다: 3s² + 12s + 8 = 0이므로 s = −0.845.

자가 점검 L(s) = K/((s + 1)(s + 5))에서 두 가지는 실수축의 어디에서 떠납니까?
  1. s = −1
  2. s = −2.5
  3. s = −3
  4. s = −6

답: s = −3. 실수 극점이 두 개이고 영점이 없으면 K = −(s + 1)(s + 5)는 두 극점의 한가운데에서 최대입니다. dK/ds = −(2s + 6) = 0에서 s = −3.

6흔한 실수

  • 계수가 모두 양수라는 이유로 시스템을 안정하다고 하는 것. 3차 이상에서는 라우스 판별도 필요합니다.
  • 플랜트의 상수항을 잊는 것: K/((s + a)(s + b)(s + c))에서 s⁰ 계수는 K가 아니라 abc + K입니다.
  • 세 번째 극점이나 영점이 근궤적을 끌어당기는데도 두 극점의 중점을 분기점으로 잡는 것.
  • 중심점에서 부호를 빠뜨리는 것: 인수 (s + 4)는 s = −4의 극점입니다.
자가 점검 s³ + s² + 2s + 8 = 0은 안정한 특성방정식입니까?
  1. 아니요: 3차식은 결코 안정하지 않다
  2. 아니요: a₂·a₁ = 2는 a₀ = 8보다 작다
  3. 예: 계수의 부호가 바뀌지 않는다
  4. 예: 모든 계수가 양수이다

답: 아니요: a₂·a₁ = 2는 a₀ = 8보다 작다. s¹ 항은 (1·2 − 8)/1 = −6이므로 첫 번째 열 1, 1, −6, 8은 부호가 두 번 바뀝니다. 극점 두 개가 우반평면에 있습니다. 계수가 양수인 것만으로는 부족합니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 라우스 표와 극점 개수. 3차 또는 4차식의 우반평면 극점을 세거나, 표의 한 항을 구하거나, 1차 플랜트의 폐루프 극점이나 그 극점을 주어진 점에 놓는 이득을 구합니다.
  • 보통: K의 범위. 안정한 최대 이득, 그 이득에서의 진동 주파수, 불안정한 플랜트를 안정화하는 최소 이득, 또는 이득을 얼마나 올릴 수 있는지를 구합니다.
  • 어려움: 근궤적. 점근선의 중심점, 허수축 교차점, 분기점과 합류점, 복소수 극점에서의 출발각, 또는 주어진 점이나 감쇠비에서의 이득을 구합니다.

감쇠비에서의 이득은 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζωns + ωn²과 비교하세요.

앱에서 단계별로 배우기앱에서 단계별로 배우기

예제 풀이

예제 1쉬움
R(s)+K1s + 10C(s)−

비례 이득 K가 단위 피드백 루프에서 플랜트 G(s) = 1/(s + 10)을(를) 제어합니다. 폐루프 극점을 s = −10.5에 놓는 이득 K을(를) 구하시오.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10.5

구하는 값: K

힌트 보기
  1. 폐루프 극점은 s + 10 + 1K = 0의 근입니다.
  2. 그 식에 s = −10.5을 대입하세요.
  3. 1K = 10.5 − 10.
정답과 단계별 풀이 보기

라우스–후르비츠 판별법: 선형 시스템은 특성다항식의 모든 근이 s평면의 좌반평면에 있을 때 안정합니다. 계수를 번갈아 라우스 표의 처음 두 행에 적습니다. 새 행의 각 항은 바로 위 두 행에서 구합니다. 3차식 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀에서 s¹ 항은 b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂입니다. 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 근의 개수와 같습니다. 계수에 이득 K가 들어 있으면 첫 번째 열의 모든 항이 양수로 유지되어야 합니다. s¹ 항을 0으로 만드는 이득이 안정 한계이고, 이때 s² 행으로 지속 진동의 주파수를 구합니다.

특성방정식

s + 10 + 1K = 0

필요한 이득

−10.5 + 10 + 1K = 0 → K = (10.5 − 10)/1 = 0.5

답

K = 0.5
예제 2보통
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

플랜트 G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))은 s = 4에 불안정한 극점이 있습니다. 비례 이득 K로 그 주위에 단위 피드백 루프를 구성합니다. 폐루프를 안정하게 만드는 최소 이득 Kmin을(를) 구하시오.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

구하는 값: Kmin

힌트 보기
  1. 특성다항식은 (s − 4)(s + 1) + K(s + 2)입니다.
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. 2차 다항식은 두 계수가 모두 양수일 때 안정합니다.
정답과 단계별 풀이 보기

라우스–후르비츠 판별법: 선형 시스템은 특성다항식의 모든 근이 s평면의 좌반평면에 있을 때 안정합니다. 계수를 번갈아 라우스 표의 처음 두 행에 적습니다. 새 행의 각 항은 바로 위 두 행에서 구합니다. 3차식 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀에서 s¹ 항은 b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂입니다. 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 근의 개수와 같습니다. 계수에 이득 K가 들어 있으면 첫 번째 열의 모든 항이 양수로 유지되어야 합니다. s¹ 항을 0으로 만드는 이득이 안정 한계이고, 이때 s² 행으로 지속 진동의 주파수를 구합니다.

특성다항식

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

조건

s² + c₁s + c₀에서 모든 근이 좌반평면에 있을 필요충분조건은 c₁ > 0이고 c₀ > 0입니다.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

답

Kmin = 3
예제 3어려움
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))의 근궤적은 s = 0과 s = −4 사이에서 실수축을 떠납니다. 분기점 sb을(를) 구하시오.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

구하는 값: sb

힌트 보기
  1. 실수축 위에서 K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)입니다.
  2. dK/ds = 0으로 놓으세요: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. 0과 −4 사이에 있는 근을 택하세요.
정답과 단계별 풀이 보기

근궤적: 이득 K를 0에서 ∞까지 변화시키면 폐루프 극점, 즉 1 + K·G(s) = 0의 근은 개루프 극점에서 개루프 영점 또는 무한대로 이동합니다. 실수축 위의 점은 그 오른쪽에 있는 실수 극점과 영점의 개수가 홀수일 때 근궤적에 속합니다. 무한대로 가는 n − m개의 가지는 점근선을 따르며, 그 각도는 (2q + 1)·180°/(n − m)이고 중심점 σₐ = (Σ 극점 − Σ 영점)/(n − m)에서 출발합니다. 가지는 dK/ds = 0인 곳에서 실수축을 떠나거나 만납니다. 각도 조건 ∠G(s) = 180°가 궤적의 모양을 정하고, 크기 조건 K = 1/|G(s)|가 궤적 위 임의의 점에서의 이득을 줍니다.

실수축을 따른 이득

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

정류점

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1.761, −7.573

근궤적 위의 점을 고르세요

근궤적은 0과 −4 사이의 실수축 위에 있으며, 다른 근은 근궤적 위에 있지 않습니다.

sb = −1.761

답

sb = −1.761

질문과 답변

안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적: 무엇인가요?

시스템은 모든 유계 입력에 대해 유계 출력이 나올 때 안정합니다. 외란 후에 안정한 시스템은 가라앉고, 불안정한 시스템은 발산하거나 진폭이 커지며 진동합니다.

그 거동은 폐루프의 극점, 즉 특성다항식의 근이 정합니다. s = p에 있는 극점은 응답에 ept 항을 더합니다.

안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 폐루프 특성다항식을 쓰세요. 1 + K·G(s) = 0의 분모를 전개한 것입니다.
  2. 계수를 번갈아 라우스 표의 처음 두 행에 넣고 나머지 행을 만드세요.
  3. 첫 번째 열의 부호 변화를 세세요. 하나하나가 우반평면의 극점입니다. 표에 K가 들어 있으면 첫 번째 열의 모든 항이 양수로 유지되도록 하세요.
  4. 근궤적에서는 극점과 영점, 실수축 구간, 중심점에서 나오는 점근선, dK/ds = 0인 분기점을 표시하세요. 한 점에서의 이득은 K = 1/|G(s)|로 구합니다.
안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적에서 자주 하는 실수는?
  • 계수가 모두 양수라는 이유로 시스템이 안정하다고 결론짓는 것. 3차 이상에서는 그것만으로 충분하지 않습니다.
  • K를 더할 때 플랜트의 상수항을 잊는 것: 원점에서 떨어진 극점이 세 개이면 s⁰ 항은 abc + K입니다.
  • 근처에 세 번째 극점이나 영점이 있는데도 두 극점의 중점을 분기점으로 잡는 것.
  • 중심점 공식에서 극점의 위치를 부호 없이 쓰는 것.
안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 라우스 표와 극점 개수
  • 보통: 안정하기 위한 K의 범위
  • 어려움: 근궤적

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

이 주제의 앞뒤 주제

먼저 배우기

라플라스 변환블록선도

계산기

라우스–후르비츠 안정 판별법 계산기

이 주제가 포함된 강의

제어공학 1제어공학 2: 피드백 제어 설계FE Electrical and Computer 시험 대비

전기의 다른 주제

저항의 직렬·병렬중첩의 원리테브난·노턴마디 해석망 해석RC·RL 과도 현상교류 임피던스와 페이저교류 전력과 역률LC 공진, Q 인자, 대역폭3상 전력변압기직류 전동기연산 증폭기 회로다이오드와 트랜지스터DC-DC 컨버터디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지데이터 수집과 표본화라플라스 변환블록선도계단 응답보드 선도와 여유정상상태 오차와 PID 제어합성곱과 LTI 시스템

인쇄용 학습지

정답이 있는 안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 학습지
안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 무료로 연습하기지금 안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.