라우스–후르비츠 안정 판별법 계산기
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결과
안정도불안정
우반평면의 근2
허수축 위의 근0
좌반평면의 근2
첫 번째 열의 부호 변화2
| 열 1 | 열 2 | 열 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
특성다항식으로 선형 시스템의 안정성을 확인하세요. 계산기는 정확한 분수로 라우스 배열을 만들고, 첫 번째 열의 0(ε 방법)과 모두 0인 행(보조 다항식)을 처리하며, 부호 변화를 세어 우반평면, 허수축 위, 좌반평면의 근의 개수를 알려 줍니다.
단계별 풀이
특성다항식
s⁴ + 2s³ + 3s² + 4s + 5 = 0
모든 계수가 있고 부호가 같습니다: 안정성의 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다.
처음 두 행
s4: 1, 3, 5
s3: 2, 4, 0
다음 행
새 원소: (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, a는 두 줄 위의 행, b는 바로 위의 행입니다.
s2: 1, 5, 0
s1: −6, 0, 0
s0: 5, 0, 0
첫 번째 열의 부호 변화를 세세요
첫 번째 열: 1, 2, 1, −6, 5
부호: + + + − +
2 부호 변화 → 2 개의 근이 우반평면에 있음
핵심 공식
- 안정도
- 특성다항식의 모든 근이 좌반평면에 있음
- 라우스 표, 3차식의 s¹ 항
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- 우반평면의 근
- 첫 번째 열의 부호 변화 횟수
- 3차식 s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- 모든 a > 0이고 a₂·a₁ > a₀일 때 안정
- 특성방정식
- 1 + K·G(s) = 0
라우스–후르비츠 판별법을 사용하는 방법
- s의 모든 차수를 최고차항부터 포함해 특성다항식을 쓰세요. 계수가 없거나 부호가 다르면 시스템은 안정할 수 없습니다.
- 첫 번째 행은 1, 3, 5, … 번째 계수로, 두 번째 행은 2, 4, 6, … 번째 계수로 채우세요.
- 다음 원소는 바로 위 두 행을 이용해 (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁입니다.
- 첫 원소가 0이지만 행 전체가 0은 아니면 작은 ε > 0으로 바꾸세요. 행 전체가 0이면 바로 위 행으로 만든 보조 다항식의 도함수로 바꾸세요.
- 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면 근의 개수와 같습니다.
질문과 답변
모두 0인 행은 무엇을 뜻하나요?
다항식이 원점에 대해 대칭인 근, 곧 ±a, ±jω 쌍이나 네 개 묶음을 가진다는 뜻입니다. 바로 위 행의 보조 다항식이 정확히 그 근들을 포함하며, 그 근이 허수축 위에 있으면 시스템은 기껏해야 한계 안정입니다.
ε 방법은 항상 믿을 수 있나요?
허수축 위에 근이 있으면 그렇지 않습니다. 그래서 계산기는 대칭인 근을 모두 가진 P(s)와 P(−s)의 공통 인수도 분리하여 그 허수축 위의 근을 정확하게 셉니다. 그것이 개수를 바꾸면 풀이 단계에 그렇게 표시됩니다.
안정성을 위한 K의 범위는 어떻게 구하나요?
이득 K를 계수에 넣어 배열을 기호로 만들고 첫 번째 열의 모든 원소가 양수가 되도록 요구하세요. 이 계산기는 숫자로 계산하므로 구한 한계의 양쪽에서 K 값을 확인하는 데 쓸 수 있습니다.
라우스 배열이 안정이면 좋은 설계인가요?
모든 극점이 좌반평면에 있다는 것만 알려 줍니다. 응답이 얼마나 빠르고 감쇠가 얼마나 잘 되는지는 극점의 위치에 달려 있으므로 그것은 근궤적이나 보드 선도로 확인하세요.
직접 연습해 보세요
안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적 연습하기
계산기는 답을 알려 줍니다. 시험에서는 푸는 방법이 필요합니다. 새 문제, 힌트, 자세한 풀이로 연습하세요.