디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

11, 0, 그리고 게이트

디지털 회로는 0(낮은 전압, 거짓)과 1(높은 전압, 참)의 두 값으로 동작합니다. 논리 게이트는 입력을 하나 이상 받아 출력을 하나 냅니다.

• AND는 모든 입력이 1일 때만 1을 냅니다. A·B 또는 AB로 씁니다.
• OR은 입력이 적어도 하나 1이면 1을 냅니다. A + B로 씁니다.
• NOT은 반전합니다. 0은 1이 되고 1은 0이 됩니다. A′(또는 A 위에 막대)로 씁니다.
• NAND와 NOR는 AND와 OR 뒤에 NOT을 붙인 것입니다. 기호의 작은 원은 “반전”을 뜻합니다.
• XOR(A ⊕ B)은 입력이 서로 다를 때 1을 냅니다.

진리표는 입력의 모든 조합에 대한 출력을 나열합니다. 입력이 n개이면 2ⁿ개의 행입니다. ABC = 101인 행은 5번 행이며 최소항 m₅라고 합니다.

2불 대수

논리식은 일반 대수와 비슷한 규칙을 따르며, 몇 가지 고유한 규칙이 더 있습니다. 가장 유용한 규칙은 다음과 같습니다.

결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X는 간소화의 핵심입니다. 한 변수만 다른 두 항이 합쳐지고, 그 변수는 사라집니다.

곱의 합(SOP)은 AND 항들을 OR로 묶은 것으로, 예를 들어 F = AB′ + C입니다. 합의 곱(POS)은 OR 항들을 AND로 묶은 것으로, 예를 들어 F = (A + B)(B′ + C)입니다. 각 곱항은 프라임이 있거나 없는 변수인 리터럴로 만들어집니다.

3카르노 맵

카르노 맵은 이웃한 칸이 정확히 한 변수만 다르도록 격자로 그린 진리표입니다. 그래서 행과 열이 이진수 순서가 아니라 00, 01, 11, 10(그레이 코드) 순서로 나열됩니다.

1. 모든 최소항의 칸에 1을 쓰세요. 각 칸의 작은 숫자는 최소항 번호입니다.
2. 1들을 둘러싸는 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형을 그리세요. 그룹은 가장자리를 넘어 이어질 수 있습니다. 왼쪽 열과 오른쪽 열은 이웃이고, 맨 위 행과 맨 아래 행도 이웃입니다.
3. 모든 그룹을 가능한 한 크게 만들고, 모든 1이 덮일 때까지 그룹 수를 가능한 한 적게 하세요.
4. 각 그룹을 곱항으로 읽으세요. 그룹 안에서 변하지 않는 변수만 남깁니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다.

위 맵에서 네 개의 1이 하나의 그룹을 이룹니다. 그 안에서 A와 C는 변하고 B = 1만 그대로이므로 F = B입니다.

X로 표시한 칸은 무정의항(don’t-care)으로, 절대 나타나지 않는 입력 조합입니다. 그룹이 커지면 X를 1로 쓰고, 그렇지 않으면 무시하세요. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

5플립플롭과 카운터

게이트는 입력에 즉시 반응합니다. 플립플롭은 한 비트를 저장하며 클록의 활성 에지(보통 상승 에지)에서만 바뀝니다.

• D 플립플롭: 클록 에지마다 Q가 D가 됩니다(Q⁺ = D).
• T 플립플롭: T = 1이면 토글하고, T = 0이면 유지합니다.
• JK 플립플롭: JK = 00은 유지, 01은 0으로 리셋, 10은 1로 셋, 11은 토글합니다.

토글하는 플립플롭은 상승 에지마다 바뀌므로 출력의 주파수가 클록의 절반입니다. n개를 연결하면 2ⁿ개의 상태를 가진 n비트 이진 카운터가 됩니다. mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가며, 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n이 필요하고 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다.

리플 카운터에서는 각 단이 앞 단의 클록을 받으므로 지연이 누적됩니다. 클록 주기는 적어도 n·t_pd여야 합니다. 시프트 레지스터 카운터는 상태 수가 더 적습니다. 플립플롭 n개의 링 카운터는 상태가 n개, 존슨 카운터는 2n개입니다.

6흔한 실수

• K-맵의 열을 00, 01, 10, 11로 쓰는 것. 순서는 그레이 코드인 00, 01, 11, 10입니다.
• 그룹이 맵의 가장자리를 넘어 이어진다는 것을 잊는 것.
• 3칸이나 6칸 그룹을 만드는 것. 그룹은 1, 2, 4, 8, 16칸입니다.
• 도움이 되지 않는 무정의항을 덮는 것: X는 반드시 덮을 필요가 없습니다.
• 변하는 변수를 남겨서 그룹을 읽는 것. 일정하게 유지되는 변수만 남기세요.
• 카운터가 되돌아간다는 것을 잊는 것: n비트 카운터는 2ⁿ을 법으로 셉니다.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 주어진 입력에 대해 게이트 회로 계산하기, 진리표의 1의 개수 세기, 카르노 맵에 최소항 놓기, 함수에 필요한 NAND 게이트 수, 또는 최악의 전파 지연.
• 보통: 식 간소화, 카르노 맵으로 최소 SOP 또는 POS 형태 구하기, 멀티플렉서로 만든 함수, 또는 맵의 고립된 1.
• 어려움: 무정의항이 있는 맵, 필수 소 임플리컨트, 플립플롭 타이밍 다이어그램, 많은 펄스 뒤의 카운터, 플립플롭 수나 출력 주파수, 시프트 레지스터.

진리표의 한두 행을 대입해 간소화한 식을 검산하세요. 원래 식과 간소화한 식의 출력이 같아야 합니다.