진법: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1수 체계란 무엇인가

일상에서는 10을 기수로 하는 십진법으로 셉니다. 숫자는 0부터 9까지 열 개이고, 각 자리는 오른쪽 자리의 열 배의 값을 가집니다.

352에서 3은 300, 5는 50, 2는 2를 나타냅니다. 오른쪽부터 자리의 값은 1, 10, 100입니다.

컴퓨터는 모든 것을 켜지거나 꺼지는 스위치로 저장합니다. 그래서 숫자 0과 1만 쓰는 2를 기수로 하는 이진법으로 셉니다.

이진 숫자 하나가 비트입니다. 8비트가 모인 것이 바이트입니다.

규칙은 어떤 진법에서도 같습니다. 각 숫자는 그 값에 기수의 거듭제곱을 곱한 값을 나타냅니다.

2이진법과 십육진법

이진법에서 자리의 값은 오른쪽부터 1, 2, 4, 8, 16, …입니다. 각 자리는 오른쪽 자리의 두 배입니다.

8비트 수에서 자리의 값은 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1입니다.

이진수를 읽으려면 1인 비트의 자리 값을 모두 더하세요. 0011 0010은 32 + 16 + 2 = 50입니다.

긴 비트열은 읽기 어렵습니다. 프로그래머는 흔히 그 대신 16을 기수로 하는 십육진법(hex)으로 씁니다.

십육진법에는 숫자가 16개 필요합니다. 0부터 9까지 쓰고, 그다음 문자 A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15를 씁니다.

십육진법 자리의 값은 오른쪽부터 1, 16, 256, 4096입니다. 십육진수는 흔히 앞에 0x를 붙여 씁니다. 예: 0x2F.

십육진수 한 자리는 정확히 4비트이므로 0011 0010은 0x32입니다. 0011은 3, 0010은 2입니다.

3음수: 2의 보수

모든 자리가 양수인 바이트는 0부터 255까지 저장합니다. 이것을 부호 없음이라고 합니다.

음수를 저장하기 위해 컴퓨터는 2의 보수를 씁니다. 바뀌는 것은 가장 왼쪽 비트의 값이 +128이 아니라 −128이라는 점뿐입니다.

그래서 1000 0011은 −128 + 2 + 1 = −125입니다. 가장 왼쪽 비트를 부호 비트라고 하며, 1이면 음수입니다.

8비트 2의 보수 수는 −128(1000 0000)부터 +127(0111 1111)까지입니다.

음수 −x를 쓰려면 이진수의 +x에서 시작하여 모든 비트를 뒤집고(0은 1로, 1은 0으로) 1을 더하세요.

−5의 예: 5는 0000 0101입니다. 뒤집으면 1111 1010입니다. 1을 더하면 1111 1011입니다.

같은 비트 패턴을 부호 없는 수로 읽으면 값은 256 − x입니다. −5의 경우 251이고, 1111 1011은 실제로 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251입니다.

4단계별 방법

이진수 또는 십육진수를 십진수로:

1. 각 숫자 아래에 자리 값을 쓰세요. 이진수는 2의 거듭제곱, 십육진수는 16의 거듭제곱이며, 오른쪽의 1부터 시작합니다.
2. 십육진수에서는 각 문자를 그 값으로 바꾸세요: A = 10부터 F = 15까지.
3. 각 숫자에 자리 값을 곱하여 모두 더하세요.

2의 보수:

1. 패턴을 읽으려면 가장 왼쪽 비트의 값을 −128(8비트에서)로 하고 1인 비트의 자리 값을 모두 더하세요.
2. −x를 쓰려면 +x를 8비트로 쓰고, 모든 비트를 뒤집은 뒤 1을 더하세요.
3. 그 패턴을 부호 없는 수로 읽은 값은 256 − x입니다. 비트가 맞는지 확인하는 데 쓰세요.

비트, 범위, 메모리:

1. n비트는 2ⁿ가지 서로 다른 패턴을 줍니다.
2. 부호 없는 수로는 0부터 2ⁿ − 1까지 저장합니다. 2의 보수로는 −2ⁿ⁻¹부터 2ⁿ⁻¹ − 1까지 저장합니다.
3. 항목 k개에 각각 고유한 부호를 주려면 2^b ≥ k인 가장 작은 b를 찾으세요.
4. 메모리는 항목 수에 항목당 비트 수를 곱한 다음, 바이트는 8로, KiB는 1024로 나누세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• 비트를 뒤집은 뒤 1을 더하는 것을 잊는 것. 결과가 1 작아집니다.
• 2의 보수 패턴을 부호 없는 수로 읽는 것. 예를 들어 1111 1111을 −1이 아니라 255로 읽는 것.
• 부호 비트를 다른 비트 앞의 마이너스 부호로 취급하는 것. 2의 보수에서 그 값은 −128입니다.
• 자리를 거꾸로 쓰는 것. 값이 1인 자리는 항상 오른쪽에 있습니다.
• 십육진수에서 A = 11을 쓰는 것. 문자는 A = 10부터 시작합니다.
• 메모리 문제에서 비트와 바이트를 섞는 것. 비트 수를 8로 나누세요.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 이진수와 십육진수를 십진수로. 8비트 이진수나 세 자리 십육진수를 십진수로 바꿉니다.
• 보통: 2의 보수. 부호 있는 8비트 패턴의 값을 읽거나, 음수를 패턴으로 쓰고 그 부호 없는 값을 구합니다.
• 어려움: 비트, 범위, 메모리. n비트에 들어가는 최댓값이나 최솟값, 부호 k개에 필요한 비트 수, 또는 이미지가 차지하는 메모리.

어려운 문제의 예: 픽셀당 24비트인 256 × 256 이미지는 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB를 차지합니다.