그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 데이터 수집과 표본화 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 나이퀴스트, LSB, 데이터 전송률, 에일리어싱, 비트 수, UART 프레임, 고조파, SQNR, 시스템 설계.
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먼저 알아 둘 것: 진법
컴퓨터는 전압을 직접 읽을 수 없습니다. 데이터 수집 시스템은 물리량을 숫자로 바꿉니다. 센서가 작은 전압을 만들고, 증폭기가 크기를 조정하며, 아날로그-디지털 변환기(ADC)가 일정한 간격으로 이를 측정해 이진수로 출력합니다.
두 가지 선택이 숫자의 품질을 결정합니다. 표본화율 fs는 ADC가 얼마나 자주 측정하는지를, 비트 수 N은 전압 범위를 얼마나 잘게 나누는지를 나타냅니다. 둘은 함께 저장하거나 전송해야 할 데이터의 양도 결정합니다.
답: 1000. 표본 수 = fs·t = 2000·0.5 = 1000입니다. 0.5 대신 2를 곱하면 4000이 되고, 시간을 무시하면 2000이 됩니다.
사인파를 포착하려면 주기당 표본이 2개보다 많아야 합니다. 따라서 표본화율은 신호의 최고 주파수의 두 배보다 커야 합니다. 표본화율의 절반이 나이퀴스트 주파수입니다:
fs/2보다 높은 주파수는 사라지지 않습니다. 그 표본은 더 낮은 주파수의 표본과 똑같아 보이는데, 이것이 에일리어스입니다. 그림에서 7 Hz 사인파(실선)를 10 Hz로 표본화하면, 점들은 3 Hz 사인파(점선)에도 똑같이 들어맞습니다.
표본화한 뒤에는 에일리어스와 실제 신호를 구별할 방법이 없습니다. 그래서 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs/2보다 높은 성분을 모두 제거합니다.
답: 3 kHz. 7 kHz는 fs/2 = 5 kHz보다 높으므로 접혀 들어갑니다: |7 − 1·10| = 3 kHz. 7 kHz에 그대로 있을 수는 없고, 17 kHz는 빼지 않고 더한 값이며, 5 kHz는 접힘 주파수일 뿐입니다.
N비트 ADC는 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 출력 코드를 갖습니다. 풀스케일 범위 VFSR을 같은 크기의 2ᴺ개 스텝으로 나누며, 한 스텝을 1 LSB(최하위 비트)라 합니다:
절사형 ADC는 입력을 LSB로 나눈 값보다 작은 가장 큰 정수 ⌊Vin/LSB⌋를 코드로 출력합니다. 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며, 이것이 양자화 오차입니다.
범위에서 크기 r의 스텝을 구분하려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N이 필요합니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 이상적인 신호 대 양자화 잡음비는 약 6 dB 높아집니다:
답: 5 mV. 210 = 1024이므로 1 LSB = 5.12/1024 = 0.005 V = 5 mV입니다. N = 10으로 나누면 512 mV, 2⁹을 쓰면 10 mV이고, 2.5 mV는 반올림형 ADC의 최대 오차, 즉 LSB의 절반입니다.
각 채널은 초당 fs개의 N비트 표본을 내보냅니다. 원시 데이터 전송률은 채널 수 × fs × N입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로 12비트 표본은 2바이트를 사용합니다.
UART는 모든 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개, 데이터 비트 8개, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개로 이루어집니다. 흔히 쓰는 8N1 형식에서는 바이트당 10비트입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 1/baud 동안 지속됩니다.
멀티플렉서를 쓰면 ADC 하나가 여러 채널을 차례로 담당할 수 있습니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리면, n개 채널 각각은 1/(n·t)로 표본화됩니다.
대부분의 문제에서는 이 순서를 따르세요:
로거가 0~4.096 V 범위의 12비트 ADC로 온도 채널 4개를 측정합니다. 신호에는 최대 20 Hz까지의 주파수가 들어 있고, 각 채널은 100 Hz로 표본화됩니다. 모든 표본은 9600 baud, 8N1의 UART로 2바이트씩 전송됩니다. 표본화율은 충분히 높습니까? 1 LSB는 얼마이며, 링크가 감당할 수 있습니까?
표본화율은 충분히 높습니다.
8N1은 바이트당 10비트를 보냅니다.
선로에서는 800·10 = 8000 bit/s로 9600 baud보다 낮습니다. 링크는 83 % 사용됩니다.
예: 100 Hz는 20 Hz의 두 배보다 크고, 1 LSB = 1 mV이며, 링크는 960 bytes/s 중 800을 필요로 합니다.
답: 960. 각 바이트에는 10비트(시작 1, 데이터 8, 정지 1)가 필요합니다: 9600/10 = 960. 8로 나누면 시작 비트와 정지 비트를 잊은 것이고, 9로 나누면 둘 중 하나를 잊은 것입니다.
UART 링크가 2400 baud로 동작합니다. 한 비트의 지속 시간 Tb을(를) µs 단위로 구하시오.
구하는 값: Tb (µs)
UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.
입력 범위 0~5 V인 8비트 ADC가 절사합니다: 출력 코드는 1 LSB = VFSR/2ᴺ일 때 ⌊Vin/LSB⌋입니다. 입력이 2.125 V일 때 십진수 출력 코드 D을(를) 구하시오.
구하는 값: D
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
이진수로는 01101100입니다.
1.92 kHz 구형파를 안티에일리어싱 필터 없이 8 kHz로 표본화합니다. 구형파에는 홀수 고조파 3f₁, 5f₁, 7f₁, …가 들어 있습니다. 고조파 7f₁은 표본화된 데이터의 어느 주파수 fa에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.
구하는 값: fa (Hz)
표본화: ADC는 신호를 초당 fs번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < fs/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 fa = |f − k·fs|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 fs/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.
에일리어스는 신호 대역 안에 놓이므로 디지털 필터로는 제거할 수 없습니다. ADC 앞의 아날로그 필터만 도움이 됩니다.
컴퓨터는 전압을 직접 읽을 수 없습니다. 데이터 수집 시스템은 물리량을 숫자로 바꿉니다. 센서가 작은 전압을 만들고, 증폭기가 크기를 조정하며, 아날로그-디지털 변환기(ADC)가 일정한 간격으로 이를 측정해 이진수로 출력합니다.
두 가지 선택이 숫자의 품질을 결정합니다. 표본화율 fs는 ADC가 얼마나 자주 측정하는지를, 비트 수 N은 전압 범위를 얼마나 잘게 나누는지를 나타냅니다. 둘은 함께 저장하거나 전송해야 할 데이터의 양도 결정합니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.