정상상태 오차와 PID 제어: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 정상상태 오차와 PID 제어 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 시스템 형과 오차 상수, 정상상태 오차와 이득, P, PI, PD 설계.

무료 연습 문제쉬움
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

단위 피드백 루프의 개루프 전달함수가 G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))입니다. 속도 오차 상수 Kv을(를) 구하시오.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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정상상태 오차와 PID 제어 무료로 연습하기지금 정상상태 오차와 PID 제어 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움시스템 형과 오차 상수
  2. 보통정상상태 오차와 이득
  3. 어려움P, PI, PD 설계

정상상태 오차와 PID 제어 문제 푸는 방법

  1. 개루프 C(s)·G(s)의 s = 0에 있는 극점을 세세요. 그것이 시스템 형입니다.
  2. 입력에 맞는 오차 상수를 구하세요. 계단 입력은 Kp, 램프 입력은 Kv, 포물선 입력은 Ka입니다.
  3. ess = A/(1 + Kp), A/Kv 또는 A/Ka를 적용하거나, 필요한 이득에 대해 풀이하세요.
  4. 감쇠나 속도 사양이 주어지면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζω_n·s + ω_n²과 대응시키세요.

흔한 실수

  • 계단 입력에 A/(1 + Kp) 대신 A/Kp를 쓰는 것.
  • 계수를 맞출 때 플랜트 이득을 잊는 것: 루프 이득은 K에 플랜트 이득을 곱한 값입니다.
  • 시스템 형을 셀 때 제어기의 적분기를 무시하는 것.
  • 0형 루프에서 비례 이득만으로 계단 오차가 사라지리라고 기대하는 것.

핵심 공식

시스템 형
G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수
오차 상수
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
계단 A
ess = A/(1 + Kp)
램프 A·t
ess = A/Kv
포물선 A·t²/2
ess = A/Ka
PID 제어기
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
2차 목표식
s² + 2ζωns + ωn²
오버슈트와 시간 지표
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

정상상태 오차와 PID 제어 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 블록선도, 계단 응답

1명령 추종

피드백 루프는 명령 r과 출력 y를 비교하고 오차 e = r − y에 따라 동작합니다. 이상적으로는 출력이 명령에 정확히 도달합니다.

그러나 흔히 그렇지 않습니다. 과도 상태가 끝난 뒤에도 차이가 남을 수 있습니다. 이것이 정상상태 오차 ess입니다.

tyress​

ess의 크기는 입력의 종류(계단, 램프, 포물선)와 루프에 적분기가 몇 개 있는지에 따라 달라집니다.

자가 점검 단위 피드백 루프에 r = 1이 들어오고 출력이 y = 0.95에 안착합니다. 정상상태 오차는 얼마입니까?
  1. 0.05
  2. 0.95
  3. 1.95
  4. −0.05

답: 0.05. ess = r − y = 1 − 0.95 = 0.05. 0.95는 출력 자체이며, 출력이 명령보다 낮게 머물므로 부호는 양수입니다.

2시스템 형과 오차 상수

시스템 형은 개루프 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수, 즉 적분기의 개수입니다. G(s) = 10/(s(s + 5))는 하나를 가지므로 1형입니다.

세 가지 오차 상수는 매우 낮은 주파수(s → 0)에서의 G(s)를 요약합니다.

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

최종값 정리를 쓰면 이 상수들이 각 입력에 대한 오차를 줍니다.

계단 A: A/(1 + Kp) 램프 A·t: A/Kv 포물선 A·t²/2: A/Ka
  • 0형: 계단 오차는 유한, 램프 오차는 무한.
  • 1형: 계단 오차는 0, 램프 오차는 유한.
  • 2형: 계단과 램프 오차는 0, 포물선 오차는 유한.
자가 점검 G(s) = 10/(s(s + 5))의 속도 오차 상수 Kv는 얼마입니까?
  1. 0.5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

답: 2. s·G(s) = 10/(s + 5)이며 s = 0에서 10/5 = 2입니다. 0.5는 상수가 아니라 램프 오차 1/Kv입니다.

3단계별 방법

  1. 개루프를 쓰세요: 제어기에 플랜트를 곱한 C(s)·G(s).
  2. s = 0에 있는 극점을 세어 시스템 형을 구하세요.
  3. 입력에 맞는 오차 상수를 고르세요. 계단 입력은 Kp, 램프 입력은 Kv, 포물선 입력은 Ka입니다.
  4. 극한을 계산하세요: s 인수를 약분한 다음 나머지에 s = 0을 대입합니다.
  5. 오차 공식을 적용하거나, 요구되는 오차를 주는 이득에 대해 푸세요.

감쇠나 속도 사양이 주어지면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζωns + ωn²과 대응시키세요.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

단위 피드백 루프의 G(s) = K/(s(s + 4))입니다. 램프 입력 r(t) = 2t를 정상상태 오차 0.1로 추종해야 합니다. K와 그에 따른 감쇠비를 구하시오.

1

시스템 형 구하기

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s)에는 s = 0에 극점이 하나 있으므로 루프는 1형입니다. 램프 입력에는 유한한 오차가 생깁니다.

2

속도 상수

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

필요한 Kv

램프의 기울기는 A = 2이므로 ess = 2/Kv = 0.1입니다.

Kv = 2/0.1 = 20
4

이득

K = 4·Kv = 80
5

감쇠 확인

특성다항식은 s² + 4s + 80이므로 ωn = √80 = 8.94 rad/s이고 ζ = 4/(2·8.94) = 0.22입니다.

오차 조건은 충족되지만 계단 응답은 약 49 % 오버슈트합니다. 이런 상충 때문에 제어기는 이득 하나 이상이 필요합니다.

답

K = 80이고 ζ = 0.22입니다.

5P, PI, PID 제어기

PID 제어기는 오차에 대한 세 가지 동작을 결합합니다.

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • 비례(Kp): 루프가 빨라지고 0형 플랜트의 오차가 작아지지만 계단 오차는 결코 0에 이르지 않습니다.
  • 적분(Ki/s): s = 0에 극점을 추가하므로 형이 하나 올라가고 계단 입력을 오차 없이 추종합니다.
  • 미분(Kd·s): 감쇠를 더하고 오버슈트를 줄입니다.

이득을 정하려면 계수를 맞추세요. G(s) = 2/(s + 3)에 PI 제어기를 쓰면 특성다항식은 s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki입니다. ωn = 5 rad/s, ζ = 0.8이면 목표는 s² + 8s + 25입니다.

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2.5, 2Ki = 25 → Ki = 12.5
자가 점검 0형 루프의 제어기에 적분기를 추가합니다. 단위 계단 입력에 대한 정상상태 오차는 어떻게 됩니까?
  1. 0이 된다
  2. 무한대가 된다
  3. 작아지지만 0은 아니다
  4. 커진다

답: 0이 된다. 적분기가 루프를 1형으로 만들므로 Kp는 무한대이고 A/(1 + Kp) = 0입니다. 비례 이득만 키우면 오차가 작아질 뿐입니다.

6흔한 실수

  • 계단 입력에 A/(1 + Kp) 대신 A/Kp를 쓰는 것.
  • 계수를 맞출 때 플랜트 이득을 잊는 것: 루프 이득은 제어기 이득에 플랜트 이득을 곱한 값입니다.
  • 플랜트의 적분기만 세고 PI 제어기의 적분기를 놓치는 것.
  • Kv를 계산할 때 영점을 빠뜨리는 것: 인수 (s + 3)은 s = 0에서 3의 값을 가집니다.
자가 점검 크기 5의 계단 입력이 Kp = 9인 0형 루프에 가해집니다. 정상상태 오차는 얼마입니까?
  1. 0.1
  2. 0.556
  3. 0.5
  4. 4.5

답: 0.5. ess = 5/(1 + 9) = 0.5. Kp로만 나누면 0.556이 되고, 계단 크기를 빼먹으면 0.1이 되며, 4.5는 최종 출력입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 시스템 형과 오차 상수. 전달함수의 형, Kp, Kv, Ka, 계단 오차, 또는 P 제어 루프의 최종 출력을 구합니다.
  • 보통: 정상상태 오차와 이득. 램프, 포물선, 또는 계단과 램프의 합에 대한 오차, 혹은 요구되는 오차를 주는 이득을 구합니다.
  • 어려움: P, PI, PD 설계. 감쇠비를 위한 K를 정하고, 주어진 K에서 오버슈트, 첨두 시간, 정착 시간을 구하고, 계수 대응으로 PI 또는 PD 이득을 정하거나, PI 제어기를 쓴 램프 오차를 구합니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

단위 피드백 루프의 개루프 전달함수가 G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))입니다. 가속도 오차 상수 Ka을(를) 구하시오.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

구하는 값: Ka

힌트 보기
  1. K_a = lim s²·G(s) (s → 0).
  2. s²이 원점의 이중 극점을 상쇄합니다.
  3. Ka = 2·2/2.
정답과 단계별 풀이 보기

정상상태 오차: 개루프 전달함수 G(s)인 단위 피드백 루프에서 오차는 E(s) = R(s)/(1 + G(s))이고, 최종값 정리에 의해 ess = lims→0 s·E(s)입니다. 시스템 형은 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수입니다. 오차 상수는 Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)이며 모두 s → 0에서의 극한입니다. 크기 A의 계단 입력은 ess = A/(1 + Kp), 램프 입력 A·t는 A/Kv, 포물선 입력 A·t²/2은 A/Ka를 줍니다. 0형 루프는 계단 입력을 유한한 오차로 추종하고, 1형 루프는 계단 입력을 정확히 추종하며 램프 입력은 유한한 오차로 추종합니다.

가속도 상수

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

답

Ka = 2
예제 2보통
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

단위 피드백 루프의 G(s) = K/((s + 2)(s + 5))입니다. 계단 입력에 대한 정상상태 오차가 2 %가 되는 이득 K을(를) 구하시오.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

구하는 값: K

힌트 보기
  1. 단위 계단 입력에서 e_ss = 1/(1 + K_p)입니다.
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0.02.
정답과 단계별 풀이 보기

정상상태 오차: 개루프 전달함수 G(s)인 단위 피드백 루프에서 오차는 E(s) = R(s)/(1 + G(s))이고, 최종값 정리에 의해 ess = lims→0 s·E(s)입니다. 시스템 형은 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수입니다. 오차 상수는 Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)이며 모두 s → 0에서의 극한입니다. 크기 A의 계단 입력은 ess = A/(1 + Kp), 램프 입력 A·t는 A/Kv, 포물선 입력 A·t²/2은 A/Ka를 줍니다. 0형 루프는 계단 입력을 유한한 오차로 추종하고, 1형 루프는 계단 입력을 정확히 추종하며 램프 입력은 유한한 오차로 추종합니다.

필요한 오차 상수

1/(1 + Kp) = 0.02 → Kp = 49

이득

K/10 = 49 → K = 490

답

K = 490

폐루프의 안정성도 확인하세요. 이 2차 루프는 K > 0이면 항상 안정합니다.

예제 3어려움
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

비례 제어기 K = 8이(가) 단위 피드백 루프에서 플랜트 G(s) = 5/(s(s + 2))을(를) 제어합니다. ts ≈ 4/(ζωₙ)을 이용하여 계단 응답의 2 % 정착 시간 ts을(를) 구하시오.

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

구하는 값: ts (s)

힌트 보기
  1. 특성다항식은 s² + 2s + 40입니다.
  2. ζωₙ은 s 계수의 절반입니다: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
정답과 단계별 풀이 보기

P, PI, PID 제어: 제어기 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s는 오차에 작용합니다. 비례 이득은 루프를 빠르게 하고 0형 플랜트의 오차를 줄이지만 완전히 없애지는 못합니다. 적분 항은 s = 0에 극점을 추가합니다. 시스템 형이 하나 올라가고 계단 입력을 오차 없이 추종합니다. 미분 항은 감쇠를 더합니다. 이득을 정하려면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζωns + ωn²과 비교하세요. 그러면 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd이며 ωd = ωn√(1 − ζ²), ts ≈ 4/(ζωn)입니다.

특성다항식

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ과 ζ

ωₙ = √40 = 6.325 rad/s
ζ = 2/(2·6.325) = 0.1581

정착 시간

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

답

ts = 4 s

이 경우 정착 시간은 K에 의존하지 않습니다. K를 올리면 응답이 더 빠르게 진동할 뿐입니다.

질문과 답변

정상상태 오차와 PID 제어: 무엇인가요?

피드백 루프는 명령 r과 출력 y를 비교하고 오차 e = r − y에 따라 동작합니다. 이상적으로는 출력이 명령에 정확히 도달합니다.

그러나 흔히 그렇지 않습니다. 과도 상태가 끝난 뒤에도 차이가 남을 수 있습니다. 이것이 정상상태 오차 ess입니다.

정상상태 오차와 PID 제어 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 개루프 C(s)·G(s)의 s = 0에 있는 극점을 세세요. 그것이 시스템 형입니다.
  2. 입력에 맞는 오차 상수를 구하세요. 계단 입력은 Kp, 램프 입력은 Kv, 포물선 입력은 Ka입니다.
  3. ess = A/(1 + Kp), A/Kv 또는 A/Ka를 적용하거나, 필요한 이득에 대해 풀이하세요.
  4. 감쇠나 속도 사양이 주어지면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζω_n·s + ω_n²과 대응시키세요.
정상상태 오차와 PID 제어에서 자주 하는 실수는?
  • 계단 입력에 A/(1 + Kp) 대신 A/Kp를 쓰는 것.
  • 계수를 맞출 때 플랜트 이득을 잊는 것: 루프 이득은 K에 플랜트 이득을 곱한 값입니다.
  • 시스템 형을 셀 때 제어기의 적분기를 무시하는 것.
  • 0형 루프에서 비례 이득만으로 계단 오차가 사라지리라고 기대하는 것.
정상상태 오차와 PID 제어 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 시스템 형과 오차 상수
  • 보통: 정상상태 오차와 이득
  • 어려움: P, PI, PD 설계

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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