보드 선도와 여유 처음부터 배우기
먼저 알아 둘 것: 교류 임피던스와 페이저, 라플라스 변환
1보드 선도가 보여 주는 것
사인파를 필터나 증폭기에 넣으면 같은 진동수의 사인파가 나옵니다. 바뀌는 것은 두 가지뿐입니다: 크기와 타이밍.
이득 |H|는 출력 진폭을 입력 진폭으로 나눈 비입니다. 위상 φ는 출력이 도 단위로 얼마나 어긋났는지입니다. 음의 위상은 출력이 뒤처진다는 뜻입니다.
둘 다 진동수에 따라 달라집니다. 보드 선도는 이를 진동수에 대해 그립니다: 위에는 데시벨 단위의 이득, 아래에는 위상. 진동수 축은 로그 눈금이므로 모든 디케이드(×10)가 같은 폭을 가집니다.
데시벨은 비를 더할 수 있는 수로 바꿉니다:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
- 이득 1은 0 dB, 10은 20 dB, 100은 40 dB, 0.1은 −20 dB입니다.
- 이득 1/√2 ≈ 0.707은 −3 dB입니다. 이것이 필터의 통과 대역의 가장자리입니다.
자가 점검 증폭기의 이득이 100입니다. 데시벨로 이득은 얼마입니까?
- 100 dB
- 2 dB
- 20 dB
- 40 dB
답: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB입니다. 20 dB는 전압이 아니라 전력비에 쓰는 10·log₁₀를 쓴 값입니다. 2는 log₁₀(100)일 뿐입니다.
21차 필터
저항에 커패시터나 인덕터를 달면 가장 간단한 필터가 됩니다. 저역 통과 필터는 낮은 진동수를 통과시키고 높은 진동수를 약하게 합니다. 고역 통과 필터는 그 반대입니다.
RC 저역 통과 필터(왼쪽)에서는 출력이 커패시터 양단에 있습니다. RC 고역 통과 필터(오른쪽)에서는 저항 양단에 있습니다. 인덕터를 쓰면 저역 통과 필터의 출력은 R 양단, 고역 통과 필터의 출력은 L 양단에 있습니다.
변화는 이득이 −3 dB인 차단 진동수 근처에서 일어납니다. 저역 통과와 고역 통과에서 같은 값입니다:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc는 rad/s, fc는 Hz입니다. R, C, L을 먼저 기본 단위로 바꾸세요: Ω, F, H.
그림은 저역 통과 필터를 보여 줍니다. ωc 아래에서 이득은 약 0 dB입니다. 그 위에서는 디케이드당 20 dB씩 떨어집니다. 위상은 0°에서 −90°로 가며 차단 진동수에서 −45°입니다.
어떤 진동수에서든, 비 x = f/fc = ω/ωc로:
- 저역 통과: |H| = 1/√(1 + x²), φ = −atan x.
- 고역 통과: |H| = x/√(1 + x²), φ = 90° − atan x.
풀이 예제R = 470 Ω, L = 47 mH인 RL 고역 통과 필터의 차단 진동수 fc를 구하시오.
2ωc = R/L = 470/0.047 = 10 000 rad/s
3fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
답 fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
자가 점검 RC 저역 통과 필터의 R = 1 kΩ, C = 1 µF입니다. 차단 진동수 fc는 얼마입니까?
- 1000 Hz
- 159 Hz
- 159 kHz
- 6283 Hz
답: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0.000001) = 1000 rad/s이므로 fc = 1000/(2π) = 159 Hz입니다. 1000은 Hz가 아니라 rad/s 단위의 ωc입니다. 6283은 2π를 곱한 값이고, 159 kHz는 kΩ의 k를 잊은 값입니다.
3직선 근사 보드 선도
전달함수 G(s)의 크기는 직선으로 스케치할 수 있습니다. 각 인수는 자기 차단 진동수에서 기울기를 바꿉니다.
- 분모의 극점 인수 (s + p)는 ω = p부터 선을 디케이드당 20 dB만큼 아래로 꺾습니다.
- 분자의 영점 인수 (s + z)는 ω = z부터 선을 디케이드당 20 dB만큼 위로 꺾습니다.
- 분모의 인수 s(적분기)는 모든 진동수에서 −20 dB/디케이드와 −90°의 위상을 줍니다.
- 적분기가 없으면 선도는 dB로 바꾼 DC 이득 G(0)에서 평평하게 시작합니다.
그림은 G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100))을 보여 줍니다. G(0) = 10 000/1000 = 10이므로 선도는 20 dB에서 시작합니다. 10 rad/s에서 −20 dB/디케이드로, 100 rad/s에서 −40 dB/디케이드로 꺾입니다.
한 대역의 기울기를 구하려면: 적분기마다 −20 dB/디케이드로 시작하고, 그 대역보다 아래에 있는 극점 차단 진동수마다 −20을, 영점 차단 진동수마다 +20을 더하세요.
자가 점검 G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5))입니다. 5와 50 rad/s 사이에서 직선 선도의 기울기는 얼마입니까?
- 0 dB/디케이드
- −20 dB/디케이드
- −40 dB/디케이드
- −60 dB/디케이드
답: −40 dB/디케이드. 적분기가 처음부터 −20을 줍니다. 5의 극점이 −20을 더하므로 5와 50 사이의 기울기는 −40입니다. 50의 영점이 50 위에서 −20으로 되돌립니다. −60은 영점을 극점으로 취급한 값입니다.
4한 진동수에서의 정확한 값
직선은 스케치일 뿐입니다. 정확한 값을 얻으려면 s = jω를 대입하세요. 각 인수 (jω + a)는 다음과 같은 복소수입니다:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
G의 크기는 분자 크기의 곱을 분모 크기의 곱으로 나눈 값입니다. 위상은 분자 각의 합에서 분모 각의 합을 뺀 값입니다.
예: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)), ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5이고 |j4 + 4| = 5.657이므로 |G| = 150/28.28 = 5.30이며 이는 14.5 dB입니다.
위상은 −atan(4/3) − atan(4/4) = −53.1° − 45° = −98.1°입니다.
R 양단을 출력으로 하는 직렬 RLC 회로는 대역 통과 필터입니다. 공진 진동수 ω₀ = 1/√(LC) 근처의 진동수를 통과시킵니다. 대역폭은 rad/s 단위로 BW = R/L이고, 품질 계수는 Q = ω₀/BW입니다.
- G(s) 또는 H(jω)를 쓰세요. RC나 RL 필터라면 먼저 ωc와 비 x = ω/ωc를 구하세요.
- 각 인수마다 크기 √(ω² + a²)와 각 atan(ω/a)를 구하세요.
- 크기는 곱하고 나누세요. 영점의 각은 더하고 극점의 각은 빼세요; 적분기는 −90°를 더합니다.
- 크기를 20·log₁₀로 dB로 바꾸세요.
- 직선 스케치와 비교해 확인하세요: 정확한 값은 그 가까이에 있어야 하고, 하나의 차단 진동수에서는 3 dB 아래에 있어야 합니다.
5풀이 예제
이것은 전형적인 보통 문제입니다. 열어 보기 전에 각 단계를 시도해 보세요.
풀이 예제RC 저역 통과 필터의 R = 10 kΩ, C = 100 nF입니다. 480 Hz의 사인파를 가합니다. dB 단위의 이득 |H|와 위상 이동 φ를 구하시오.
1기본 단위를 쓰세요: R = 10 000 Ω, C = 0.0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0.0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159.2 Hz
2x = f/fc = 480/159.2 = 3.016
입력이 차단 진동수보다 위에 있으므로 이득이 뚜렷이 줄어들 것으로 예상하세요.
3|H| = 1/√(1 + 3.016²) = 1/3.177 = 0.315
20·log₁₀(0.315) = −10.0 dB
4저역 통과 필터는 출력을 뒤처지게 하므로 위상은 음수입니다.
φ = −atan(3.016) = −71.7°
5직선 근사는 −20·log₁₀(3.016) = −9.6 dB를 주며, 정확한 −10.0 dB에 가깝습니다.
답 |H| ≈ −10.0 dB, φ ≈ −71.7°.
6흔한 실수
- 전압 이득에 10·log₁₀를 쓰기. 신호의 이득에는 20·log₁₀를 씁니다.
- ω와 f를 혼동하기. ωc = 1/(RC)는 rad/s이며, Hz로 바꾸려면 2π로 나누세요.
- RL의 차단 진동수에 L/R을 쓰기. L/R은 시정수이고, 차단 진동수는 ωc = R/L입니다.
- 크기를 ω + a처럼 더하기. jω + a의 크기는 √(ω² + a²)입니다.
- 적분기를 잊기: 1/s는 모든 진동수에서 −20 dB/디케이드와 −90°를 줍니다.
- 정확한 크기를 물었는데 직선 근사 값을 답하기.
자가 점검 G(s) = 400/((s + 2)(s + 5))의 DC 이득은 dB로 얼마입니까?
- 16.0 dB
- 32.0 dB
- 40 dB
- 52.0 dB
답: 32.0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40이고 20·log₁₀(40) = 32.0 dB입니다. 16.0 dB는 10·log₁₀를 쓴 값입니다. 40은 비이지 dB가 아닙니다. 52.0 dB는 분모에서 s = 0을 놓는 것을 잊은 값입니다.
7시험 문제의 유형
- 쉬움: 필터와 점근선. RC나 RL 필터의 Hz 또는 rad/s 단위의 차단 진동수, 한 대역에서 직선 선도의 기울기, 또는 dB 단위의 DC 이득.
- 보통: 크기와 위상. 주어진 진동수에서 필터의 dB 단위 이득이나 위상, 전달함수의 정확한 |G(jω)| 또는 ∠G(jω), 또는 RLC 대역 통과 필터의 f₀, BW 또는 Q.
- 어려움: 85/(s(s + 5)) 또는 K/(s(s + a)(s + b)) 같은 루프 L(s)의 안정 여유.
어려운 수준에서는 두 진동수가 필요합니다. 이득 교차 ωc에서 |L(jω)| = 1(0 dB)입니다. 위상 교차 ω180에서 ∠L(jω) = −180°입니다.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
L(s) = K/(s(s + a)(s + b))에서 위상 교차는 ω180 = √(a·b)입니다. 두 여유가 모두 양수이면 루프는 안정합니다.
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