보드 선도 계산기(이득 여유와 위상 여유)
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결과
이득 여유9.542 dB
위상 여유32.61 °
이득 교차 주파수0.7494 rad/s
위상 교차 주파수1.414 rad/s
폐루프안정(개루프에 우반평면 극점이 없는 경우)
| ω (rad/s) | |G(jω)| | |G| (dB) | 위상 (°) |
|---|---|---|---|
| 0.01 | 99.99 | 40 | −90.86 |
| 0.02154 | 46.4 | 33.33 | −91.85 |
| 0.04642 | 21.52 | 26.65 | −93.99 |
| 0.1 | 9.938 | 19.95 | −98.57 |
| 0.2154 | 4.511 | 13.09 | −108.3 |
| 0.4642 | 1.904 | 5.591 | −128 |
| 1 | 0.6325 | −3.979 | −161.6 |
| 2.154 | 0.133 | −17.53 | −202.2 |
| 4.642 | 0.01796 | −34.92 | −234.5 |
| 10 | 0.001951 | −54.19 | −253 |
| 21.54 | 0.0001989 | −74.03 | −262 |
| 46.42 | 1.998 × 10⁻⁵ | −93.99 | −266.3 |
| 100 | 2 × 10⁻⁶ | −114 | −268.3 |
분자와 분모 계수로 입력한 전달함수 G(s)의 보드 선도를 그리세요. 계산기는 주파수에 따른 크기(dB)와 위상을 그래프로 그리고 표로 나열하며, 이득 교차 주파수(|G| = 0 dB), 위상 교차 주파수(위상 = −180°), 이득 여유, 위상 여유를 구합니다.
보드 선도
단계별 풀이
주파수 응답
G(s) = (2)/(s³ + 3s² + 2s)
s = jω: |G(jω)| / dB = 20·log₁₀|G(jω)|, 위상 = arg G(jω)
저주파에서: G ≈ 1·s-1 → 위상 → −90°
이득 교차: |G(jω)| = 1(0 dB)
ω = 0.7494 rad/s: 위상 = −147.4° → PM = 180° + (−147.4°) = 32.61°
위상 교차: 위상 = −180°
ω = 1.414 rad/s: |G| = −9.542 dB → GM = −(−9.542) = 9.542 dB
안정도
개루프에 우반평면 극점이 없으면, 두 여유가 모두 양수일 때 폐루프가 안정합니다.
보드 선도에서 이득 여유와 위상 여유를 구하는 방법
- s = jω를 대입하고 여러 주파수에서 |G(jω)|를 dB(20·log₁₀|G|)로, 위상 arg G(jω)를 계산하세요.
- 이득 교차 ω_gc: |G(jω)| = 1, 곧 0 dB인 곳. 위상 여유는 PM = 180° + ω_gc에서의 위상입니다.
- 위상 교차 ω_pc: 위상이 −180°인 곳. 이득 여유는 GM = −|G(jω_pc)|(dB)입니다.
- 개루프에 우반평면 극점이 없으면, 두 여유가 모두 양수일 때 폐루프가 안정합니다.
- 일반적인 설계 목표는 위상 여유 45°~60°, 이득 여유 6 dB 이상입니다.
질문과 답변
G(s)는 어떻게 입력하나요?
분자와 분모의 계수를 s의 최고차항부터 입력하고, 없는 차수에는 0을 쓰세요. 2/(s(s + 1)(s + 2)) = 2/(s³ + 3s² + 2s)는 분자 2, 분모 1 3 2 0입니다.
위상이 왜 −180°…180°로 제한되지 않나요?
위상은 풀어서(unwrapped) 표시하므로 주파수에 따라 연속적으로 변하고, 극점이 세 개인 시스템은 −270°까지 내려갑니다. −180°와의 교차는 이 연속 곡선에서 찾습니다.
교차점이 없으면 어떻게 되나요?
|G|가 0 dB를 지나지 않으면 위상 여유는 무한대이고, 위상이 −180°에 도달하지 않으면 이득 여유가 무한대입니다. 예를 들어 지연이 없는 1차 또는 2차 시스템의 이득 여유는 무한대입니다.
여유가 오해를 부를 수 있는 경우는 언제인가요?
개루프에 우반평면 극점이나 영점이 있거나 교차점이 여러 개이면 여유만으로 안정성을 판단할 수 없으므로 나이퀴스트 판별법을 쓰세요. 교차점이 여러 개이면 계산기는 가장 작은 여유를 보고합니다.
결과는 얼마나 정확한가요?
응답은 복소 전달함수에서 촘촘한 로그 격자 위에서 직접 계산하고, 교차점은 이분법으로 정밀화하므로 주파수와 여유가 여러 자릿수까지 정확합니다.
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