중첩의 원리: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 중첩의 원리 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 전압원 2개, 전압원 + 전류원, 전원 3개.

무료 연습 문제쉬움
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

중첩의 원리를 이용해 화살표 방향으로 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
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중첩의 원리 무료로 연습하기지금 중첩의 원리 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움전압원 2개
  2. 보통전압원 + 전류원
  3. 어려움전원 3개

중첩의 원리 문제 푸는 방법

  1. 독립 전원의 수를 세세요. 전원 하나마다 더 간단한 회로를 하나씩 풉니다.
  2. 전원 하나만 남기고 나머지는 끄세요. 전압원은 단락(도선)이 되고, 전류원은 개방(끊어진 부분)이 됩니다.
  3. 간단해진 회로에서 필요한 전압이나 전류를 구하고, 그 방향을 기록하세요.
  4. 모든 전원에 대해 반복한 뒤, 각 기여분을 부호와 함께 더하세요.

흔한 실수

  • 전압원을 도선으로 바꾸지 않고 그냥 제거하는 것.
  • 방향을 확인하지 않고 기여분을 더하는 것.
  • 전력에 중첩의 원리를 쓰는 것: 전력은 선형이 아니므로 먼저 전체 전류를 구한 다음 전력을 구하세요.

핵심 공식

중첩의 원리
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
제거한 전압원
단락 (0 V)
제거한 전류원
개방 (0 A)
전압 분배
V2 = V·R2/(R1 + R2)
전류 분배
I1 = I·R2/(R1 + R2)

중첩의 원리 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 저항의 직렬·병렬

1중첩의 원리란

많은 회로에는 전원이 둘 이상 있습니다. 배터리 두 개, 또는 배터리 하나와 전류원 하나처럼요.

한꺼번에 모두 풀기는 어려울 수 있습니다. 중첩의 원리를 쓰면 문제를 더 간단한 조각으로 나눌 수 있습니다.

핵심 아이디어: 각 전원은 회로에 자기 전류를 흘립니다. 저항에 흐르는 실제 전류는 각 전원이 단독으로 만드는 전류의 합입니다.

수도꼭지 두 개로 같은 욕조를 채운다고 생각해 보세요. 수위는 첫 번째 꼭지가 더한 만큼과 두 번째 꼭지가 더한 만큼을 합한 만큼 올라갑니다.

자가 점검 중첩의 원리로 무엇을 할 수 있나요?
  1. 가장 큰 전원을 제외한 모든 전원을 무시한다
  2. 모든 저항을 저항 하나로 바꾼다
  3. 전원들의 효과를 곱한다
  4. 전원마다 한 번씩 회로를 풀고 결과를 더한다

답: 전원마다 한 번씩 회로를 풀고 결과를 더한다. 한 번에 전원 하나씩 보면서 그 전원이 만드는 것을 구하고, 마지막에 모든 기여분을 더합니다.

2전원 끄기

전원 하나만 보려면 다른 전원들을 끕니다. 끈다는 것은 전원을 0으로 만든다는 뜻입니다.

  • 0 V로 만든 전압원은 그냥 도선(단락 회로)이 됩니다.
  • 0 A로 만든 전류원은 끊어진 틈(개방 회로)이 됩니다.
+−0 V0 A

끄는 것은 전원뿐입니다. 모든 저항은 원래 자리에 그대로 둡니다.

이 방법은 저항과 독립 전원으로 이루어진 회로에 쓸 수 있습니다. 이런 회로를 선형 회로라고 합니다. 전원을 두 배로 하면 그 전원이 만드는 모든 것이 두 배가 됩니다.

자가 점검 전류원은 어떻게 끄나요?
  1. 1 Ω 저항으로 바꾼다
  2. 개방 회로(틈)로 바꾼다
  3. 단락 회로(도선)로 바꾼다
  4. 옆에 있는 저항을 없앤다

답: 개방 회로(틈)로 바꾼다. 꺼진 전류원에는 0 A가 흐릅니다. 전압이 얼마든 전류를 전혀 통과시키지 않는 것은 틈뿐입니다.

3필요한 도구

간단해진 각 회로에는 전원이 하나뿐이므로 직렬·병렬 저항으로 풀 수 있습니다.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

가장 많이 쓰는 도구는 전압 분배기입니다. 직렬인 두 저항은 크기에 비례해 전원 전압을 나눠 가집니다:

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

그런 다음 옴의 법칙 I = V/R로, 전압을 알면 어느 저항의 전류든 구할 수 있습니다.

자가 점검 12 V 전원이 직렬인 6 Ω과 2 Ω에 연결되어 있습니다. 2 Ω 저항 양단의 전압은 얼마인가요?
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

답: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. 작은 저항이 전압의 작은 몫을 받습니다.

4단계별 방법

  1. 독립 전원의 개수를 셉니다. 전원마다 간단한 회로를 하나씩 풀게 됩니다.
  2. 전원 하나만 남기고 나머지는 모두 끕니다. 전압원은 도선이 되고, 전류원은 틈이 됩니다.
  3. 간단해진 회로에서 필요한 양을 구합니다. 방향(또는 +와 −)은 문제와 같게 유지하세요.
  4. 모든 전원에 대해 반복합니다.
  5. 모든 기여분을 부호를 붙여 더합니다. 반대 방향의 기여분은 음수로 셉니다.

계산하기 전에 간단해진 각 회로를 그리세요. 대부분의 실수는 다른 회로를 풀면서 원래 그림을 보는 데서 생깁니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

이 회로에서 R3를 (아래로) 흐르는 전류 I3를 구하세요.

1

회로 살펴보기

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

전원이 V1 = 12 V와 V2 = 6 V 두 개입니다. 따라서 간단한 회로 두 개를 풉니다.

2

V₁만 켜기

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

V2를 도선으로 바꿉니다. 이제 R2는 마디 A에서 아래 도선으로 바로 이어지므로 R2와 R3는 병렬입니다.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

V₁에 대한 전압 분배

V1에서 보면 R1 = 6 Ω이 2 Ω인 병렬 쌍과 직렬입니다. A의 전압은 2 Ω 부분이 받는 몫입니다:

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

V₂만 켜기

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

이번에는 V1을 도선으로 바꿉니다. R1과 R3는 병렬입니다: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1.5 V
I3″ = 1.5 V / 3 Ω = 0.5 A
5

성분을 더하기

두 기여분 모두 R3를 아래로 흐르므로 둘 다 양수입니다.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0.5 = 1.5 A
6

답 검산

두 전원이 모두 켜지면 VA = 3 + 1.5 = 4.5 V입니다. 양쪽에서 A로 들어오는 전류는 (12 − 4.5)/6 = 1.25 A와 (6 − 4.5)/6 = 0.25 A입니다.

합하면 1.5 A로, R3를 통해 나가는 전류와 정확히 같습니다. 답이 맞습니다.

답

I3 = 1.5 A, 아래로 흐름.

6흔한 실수

  • 전압원을 없애고 틈으로 남겨 두는 것. 꺼진 전압원은 도선입니다.
  • 방향을 확인하지 않고 기여분을 더하는 것. 기여분마다 화살표를 그리세요.
  • 중첩의 원리로 전력을 계산하는 것. 전력은 선형이 아닙니다. 먼저 전체 전류를 구한 다음 P = I²·R.
  • 전원 하나를 빠뜨리는 것. 전원이 세 개면 간단한 회로가 세 개 필요합니다.
자가 점검 예제에서 3 Ω 저항에 I₃′ = 1 A, I₃″ = 0.5 A가 흐릅니다. R₃가 소비하는 전력은 얼마인가요?
  1. 2.25 W
  2. 3.75 W
  3. 4.5 W
  4. 6.75 W

답: 6.75 W. 먼저 전류를 더합니다: 1.5 A. 그런 다음 P = 1.5² · 3 = 6.75 W. 두 전력을 따로 구해 더하는 것(3 + 0.75 = 3.75 W)은 전력이 선형이 아니므로 틀립니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 전압원 두 개와 저항 세 개. 간단해진 각 회로는 전압 분배기입니다.
  • 보통: 전압원 하나와 전류원 하나. 꺼진 전류원은 틈이 된다는 점을 기억하세요.
  • 어려움: 전원 세 개이며, 구할 값은 마디 전압이거나 가지 전류일 수 있습니다.

측정값만 주는 문제도 있습니다. 예를 들어 두 전원이 모두 켜졌을 때 전류가 6.5 mA이고, V2를 끄면 4.5 mA라면 V2 단독으로는 2 mA를 만듭니다.

회로가 선형이므로 V1을 두 배로 하면 그 기여분도 두 배가 됩니다. 이를 이용해 전원이 바뀐 뒤의 전류를 예측하세요.

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예제 풀이

예제 1쉬움
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

중첩의 원리를 이용해 표시된 극성에서 R3 양단의 전압 VR3을(를) 구하시오.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

구하는 값: VR3 (V)

힌트 보기
  1. 이 회로에는 독립 전원이 2개 있으므로, 전원마다 하나씩 더 간단한 회로 2개를 풉니다. 나머지 전원은 끕니다: 전압원은 단락, 전류원은 개방이 됩니다.
  2. V₁만 작용하면 R₂와 R₃는 병렬이 됩니다. 전압 분배로 마디 A의 전압을 구합니다.
  3. V1만 작용할 때 VR3′ = 2.634 V. 다른 성분도 같은 방법으로 구해 더합니다.
정답과 단계별 풀이 보기

중첩의 원리: 선형 회로에서 모든 전압이나 전류는 각 독립 전원이 단독으로 작용할 때의 응답을 합한 것입니다. 전원을 끄려면 이상 전압원은 단락으로, 이상 전류원은 개방으로 바꿉니다. 저항은 그대로 둡니다.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩA단락

경우 1 · V1만 작용

V₂가 단락되므로 R₂는 이제 A에서 접지로 연결되어 R₃와 병렬이 됩니다.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1.714/(10+1.714) = 2.634 V
VR3′ = VA − 0 = 2.634 − 0 = 2.634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω단락R3​2 ΩA+−V2​18 V

경우 2 · V2만 작용

V₁이 단락되므로 R₁은 이제 A에서 접지로 연결되어 R₃와 병렬이 됩니다.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1.667/(12+1.667) = 2.195 V
VR3″ = VA − 0 = 2.195 − 0 = 2.195 V

성분을 더하기

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2.634 + 2.195 = 4.829 V

결과가 음수이면 실제로는 극성이 표시와 반대로 되어 있다는 뜻입니다.

예제 2보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

중첩의 원리를 이용해 R4이(가) 흡수하는 전력 PR4을(를) 구하시오.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

구하는 값: PR4 (W)

힌트 보기
  1. 이 회로에는 독립 전원이 2개 있으므로, 전원마다 하나씩 더 간단한 회로 2개를 풉니다. 나머지 전원은 끕니다: 전압원은 단락, 전류원은 개방이 됩니다.
  2. 중첩의 원리로 R4의 전류 IR4을(를) 구한 다음 제곱합니다: P = I²R.
  3. V1만 작용하면 IR4′ = 0.07059 A.
정답과 단계별 풀이 보기

중첩의 원리: 선형 회로에서 모든 전압이나 전류는 각 독립 전원이 단독으로 작용할 때의 응답을 합한 것입니다. 전원을 끄려면 이상 전압원은 단락으로, 이상 전류원은 개방으로 바꿉니다. 저항은 그대로 둡니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB개방

경우 1 · V1만 작용

Iₛ가 개방되므로 R₃와 R₄는 A에서 접지까지 하나의 직렬 가지를 이루고, 이 가지는 R₂와 병렬입니다.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω
VA = 6·4.615/(15+4.615) = 1.412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1.412·12/20 = 0.8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0.8471 − 0)/12 = 0.07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

경우 2 · Is만 작용

V₁이 단락되므로 R₁은 R₂와 병렬입니다. Iₛ는 B에서 R₄와 R₃를 지나는 경로로 나뉩니다.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12.29 = 6.071 Ω
VB = Is·Req = 2·6.071 = 12.14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12.14·4.286/12.29 = 4.235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12.14 − 0)/12 = 1.012 A

전류 기여분 더하기

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0.07059 + 1.012 = 1.082 A

저항의 전력

전력은 전류의 제곱에 의존하므로 중첩의 원리를 따르지 않습니다. 전류를 먼저 더한 다음 제곱하세요.

PR4 = IR4²·R4 = 1.082²·12 = 14.06 W

답

PR4 = 14.06 W

각 경우의 전력을 더하면 12.34 W가 되는데, 이는 틀린 값입니다.

예제 3어려움
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

중첩의 원리를 이용해 표시된 극성에서 R2 양단의 전압 VR2을(를) 구하시오.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

구하는 값: VR2 (V)

힌트 보기
  1. 이 회로에는 독립 전원이 3개 있으므로, 전원마다 하나씩 더 간단한 회로 3개를 풉니다. 나머지 전원은 끕니다: 전압원은 단락, 전류원은 개방이 됩니다.
  2. V₁만 남기고 시작하세요: V₂는 단락, Iₛ는 개방합니다. A에서 보면 R₃는 R₂+R₄와 병렬입니다.
  3. V1만 작용할 때 VR2′ = 0.6379 V. 나머지 성분도 같은 방법으로 구해 더합니다.
정답과 단계별 풀이 보기

중첩의 원리: 선형 회로에서 모든 전압이나 전류는 각 독립 전원이 단독으로 작용할 때의 응답을 합한 것입니다. 전원을 끄려면 이상 전압원은 단락으로, 이상 전류원은 개방으로 바꿉니다. 저항은 그대로 둡니다.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩA개방B단락

경우 1 · V1만 작용

V₂는 단락, Iₛ는 개방됩니다. A에서 보면 R₃는 직렬인 R₂+R₄와 병렬입니다.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6.27 Ω
VA = 12·6.27/(10+6.27) = 4.625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4.625·25/29 = 3.987 V
VR2′ = VA − VB = 4.625 − 3.987 = 0.6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω단락R3​8 ΩAIs​1 AB단락

경우 2 · Is만 작용

두 전압원이 모두 단락됩니다. Iₛ는 B에서 R₄(이제 접지로)와, R₁ ∥ R₃와 직렬인 R₂로 나뉩니다.

R1 ∥ R3 = 4.444 Ω, 따라서 왼쪽 경로는 R2+4.444 = 8.444 Ω
Req = R4 ∥ 8.444 = 6.312 Ω
VB = Is·Req = 1·6.312 = 6.312 V
VA = VB·4.444/8.444 = 3.322 V
VR2″ = VA − VB = 3.322 − 6.312 = −2.99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω단락R3​8 ΩA개방B+−V2​15 V

경우 3 · V2만 작용

V₁은 단락, Iₛ는 개방됩니다. R₁ ∥ R₃가 A에 연결되고, R₂와 직렬로 B로 돌아갑니다.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8.444/33.44 = 3.787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3.787·4.444/8.444 = 1.993 V
VR2‴ = VA − VB = 1.993 − 3.787 = −1.794 V

성분을 더하기

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0.6379 + (−2.99) + (−1.794) = −4.146 V

결과가 음수이면 실제로는 극성이 표시와 반대로 되어 있다는 뜻입니다.

질문과 답변

중첩의 원리: 무엇인가요?

많은 회로에는 전원이 둘 이상 있습니다. 배터리 두 개, 또는 배터리 하나와 전류원 하나처럼요.

한꺼번에 모두 풀기는 어려울 수 있습니다. 중첩의 원리를 쓰면 문제를 더 간단한 조각으로 나눌 수 있습니다.

중첩의 원리 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 독립 전원의 수를 세세요. 전원 하나마다 더 간단한 회로를 하나씩 풉니다.
  2. 전원 하나만 남기고 나머지는 끄세요. 전압원은 단락(도선)이 되고, 전류원은 개방(끊어진 부분)이 됩니다.
  3. 간단해진 회로에서 필요한 전압이나 전류를 구하고, 그 방향을 기록하세요.
  4. 모든 전원에 대해 반복한 뒤, 각 기여분을 부호와 함께 더하세요.
중첩의 원리에서 자주 하는 실수는?
  • 전압원을 도선으로 바꾸지 않고 그냥 제거하는 것.
  • 방향을 확인하지 않고 기여분을 더하는 것.
  • 전력에 중첩의 원리를 쓰는 것: 전력은 선형이 아니므로 먼저 전체 전류를 구한 다음 전력을 구하세요.
중첩의 원리 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 전압원 2개
  • 보통: 전압원 + 전류원
  • 어려움: 전원 3개

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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