라플라스 변환: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1라플라스 변환이 하는 일

회로, 전동기, 탱크는 미분방정식으로 기술됩니다: 출력이 자신의 변화율에 의존합니다. 이를 직접 푸는 것은 느립니다.

라플라스 변환은 이런 문제를 대수로 바꿉니다. 시간의 모든 함수 f(t)를 새 변수 s의 함수 F(s)로 바꿉니다.

s에 대한 평범한 대수로 문제를 풀고, 그 결과를 시간으로 되돌립니다. 이 마지막 단계가 역변환입니다.

이 적분을 직접 쓰는 일은 드뭅니다. 실제로는 두 언어 사이의 사전처럼 표에서 변환 쌍을 찾아봅니다.

그림은 세 가지 흔한 신호를 보여 줍니다: 상수 1(계단), 감쇠하는 지수함수, 사인. 각각의 아래에 그 변환이 있습니다.

2변환 쌍 표

이 다섯 쌍을 익히세요. 두 규칙과 함께 거의 모든 시험 문제를 다룹니다.

• 선형성: 상수는 앞에 남고 합은 항별로 변환됩니다. 따라서 3/(s + 2) ↔ 3·e^−2t.
• 이동: s를 s + a로 바꾸면 시간 함수에 e^−at가 곱해집니다. 따라서 (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e^−2t·cos 3t.

사인 쌍에 주의하세요: 분자는 ω 자체여야 합니다. 12/(s² + 9)에서는 ω = 3이므로 12 = 4·3으로 쓰세요. 결과는 4·sin 3t입니다.

sin ωt와 cos ωt에서 각 ωt는 라디안입니다. 계산하기 전에 계산기를 라디안으로 맞추세요.

3역변환 없이 처음 값과 끝 값 구하기

때로는 f(t)가 어디서 시작하는지나 어디서 끝나는지만 필요합니다. 두 정리가 F(s)로부터 바로 이를 줍니다.

• 초깃값(s → ∞): s가 매우 크면 분자와 분모에서 s의 최고차 거듭제곱만 의미가 있습니다.
• 최종값(s → 0): 인수 s를 약분한 다음, 남은 모든 인수에서 s = 0을 놓습니다. 영점도 포함합니다.
• 최종값 정리는 f(t)가 정말로 안정될 때만 성립합니다: s·F(s)의 모든 극점의 실수부가 음수여야 합니다.

최종값: F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3))에서 s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3))입니다. s = 0에서 이는 12/6 = 2이므로 f(∞) = 2입니다.

초깃값: F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6)에서 s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6)입니다. s가 크면 이는 3s²/s²처럼 행동하므로 f(0⁺) = 3입니다.

초기 기울기 f′(0⁺)에는 도함수의 변환 ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺)를 쓰세요. 그다음 이것에 초깃값 정리를 적용합니다:

같은 F(s)에서: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). s를 곱하고 s → ∞로 보냅니다. 최고차 항은 −5s²/s²를 주므로 f′(0⁺) = −5입니다.

4부분분수, 단계별로

대부분의 F(s)는 표에 있는 그대로가 아닙니다. 표에 있는 간단한 분수로 쪼갭니다. 이것이 부분분수입니다.

분모의 각 근이 극점입니다. s = −a의 단순 극점은 항 A/(s + a) 하나를 주며, 시간에서는 A·e^−at가 됩니다.

가리기 규칙이 각 계수를 구해 줍니다. A를 구하려면 F(s)에서 인수 (s + a)를 가리고 남은 모든 것에 s = −a를 넣으세요.

예: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). 그러면 A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2이고 B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1입니다. 따라서 f(t) = 2e^−t − e^−4t.

극점의 위치가 모양을 알려 줍니다. −3의 실수 극점은 순수한 감쇠 e^−3t를 줍니다. 복소 쌍 −1 ± j2는 감쇠 진동, 곧 e^−t 곱하기 sin 2t 또는 cos 2t를 줍니다.

• 중복 극점 (s + a)²: A/(s + a) + B/(s + a)²로 쓰세요. 두 번째 항은 B·t·e^−at를 줍니다. 따라서 (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e^−t + 3t·e^−t.
• 복소 극점: 완전제곱식을 만드세요, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². 그러면 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e^−2t·sin 2t.

1. 분모를 인수분해하고 극점을 나열하세요. 이차식이면 근을 구하거나 완전제곱식을 만드세요.
2. 극점마다 분수를 하나씩 쓰세요: A/s, B/(s + a) 등. 중복 극점에는 제곱 항도 붙습니다.
3. 가리기 규칙으로 각 계수를 구하세요. 남은 인수의 부호를 유지하세요.
4. 모든 항을 표를 써서 시간으로 되돌리세요.
5. 시간 t를 넣으세요(사인과 코사인은 라디안). 값 정리로 f(0⁺)와 f(∞)를 확인하세요.

5풀이 예제

이것은 전형적인 보통 문제입니다. 열어 보기 전에 각 단계를 직접 시도해 보세요.

6흔한 실수

• 정리를 혼동하기: s → ∞는 처음 값 f(0⁺)를, s → 0은 끝 값 f(∞)를 줍니다.
• s·F(s)에서 인수 s를 잊거나, s = 0을 놓을 때 (s + 2) 같은 영점 인수를 빼기.
• 가리기 규칙의 부호 실수: s = −3에서 인수 (s + 2)는 5가 아니라 −1입니다.
• ω로 나누지 않고 사인 쌍을 쓰기: ω/(s² + ω²)는 분자에 ω가 필요합니다.
• 계산기를 도 모드로 두고 sin ωt나 cos ωt를 계산하기. 각 ωt는 라디안입니다.
• f(t)가 안정되지 않는데 최종값 정리를 쓰기. 예를 들어 순수한 사인인 F(s) = 1/(s² + 4).

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 표의 쌍과 값 정리. 상수, 지수함수, t·e^−at, 사인 또는 코사인을 역변환해서 계산하거나, f(0⁺), f(∞) 또는 초기 기울기 f′(0⁺)를 구합니다.
• 보통: 부분분수를 쓴 역변환. 계수 A 하나를 구하거나, 세 개의 단순 극점 s(s + a)(s + b), 중복 극점, 또는 완전제곱식을 만드는 복소 극점을 역변환합니다.
• 어려움: 미분방정식과 전달함수. 예를 들어 주어진 초깃값에서 y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t). 주어진 시간의 y를 구합니다.

어려운 수준에서는 각 도함수를 초기 조건과 함께 변환하세요:

그다음 Y(s)에 대한 대수 방정식을 풀고, 풀이 예처럼 부분분수로 역변환하세요.