역 라플라스 변환 계산기(부분분수)
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결과
유리함수 F(s) = N(s)/D(s)의 역 라플라스 변환을 구하세요. 분자와 분모의 계수를 s의 최고차항부터 입력하세요. 계산기는 공통인수를 약분하고, 가분수식을 나누고, 극점을 구하고, 모든 부분분수 계수(서로 다른 극점, 중복 극점, 복소 극점)를 계산한 뒤 f(t)를 지수함수, t의 거듭제곱, 사인, 코사인의 합으로 씁니다.
단계별 풀이
F(s)를 다항식의 비로 나타내기
극점: 분모의 근
부분분수 전개
사용한 변환 쌍
역 라플라스 변환
부분분수로 역 라플라스 변환을 구하는 방법
- F(s)가 진분수식인지 확인하세요. 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮지 않으면 먼저 나누세요. 다항식 부분은 임펄스 δ(t), δ′(t) 등을 줍니다.
- 분모를 인수분해하여 극점을 찾으세요. 실수 극점 a는 인수 (s − a)를, 복소 켤레 쌍 a ± bj는 (s − a)² + b²를 줍니다.
- F(s)를 부분분수의 합으로 쓰고 계수를 구하세요. 단순 극점에서는 A = [(s − a)·F(s)]를 s = a에서 계산합니다(가림법). 중복 극점에는 미분이 필요합니다.
- 표를 이용해 각 항을 변환하세요: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)!, (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- 항들을 더해 t ≥ 0에서의 f(t)를 구하세요.
질문과 답변
F(s)는 어떻게 입력하나요?
각 다항식의 계수를 s의 최고차항부터 공백으로 구분하여 입력하고, 없는 차수에는 0을 쓰세요. (s + 3)/(s² + 3s + 2)는 분자 1 3, 분모 1 3 2이고, 1/(s³ + 4s)는 분자 1, 분모 1 0 4 0입니다. 1/2 같은 분수와 소수도 쓸 수 있습니다.
가림법이란 무엇인가요?
s = a의 단순 극점에서는 F(s)에 (s − a)를 곱해 약분하고 s = a를 대입합니다. F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2))에서는 s = −1에서 2/1 = 2, s = −2에서 1/(−1) = −1이므로 f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t)입니다.
복소 극점은 어떻게 처리하나요?
극점 쌍 a ± bj는 항 (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²)를 주며 그 역변환은 e^(at)·(B cos bt + C sin bt)입니다. 계산기는 a + bj에서의 복소 계수 A로부터 B와 C를 구합니다: B = 2·Re A, C = −2·Im A.
분자의 차수가 너무 높으면 어떻게 하나요?
그러면 F(s)는 가분수식입니다. 다항식 나눗셈으로 F(s) = Q(s) + R(s)/D(s)를 얻습니다. 다항식 Q(s)는 임펄스로 변환됩니다. 상수 c는 c·δ(t), c·s는 c·δ′(t)를 주는 식입니다. 진분수 부분 R(s)/D(s)는 평소처럼 부분분수로 전개합니다.
결과는 얼마나 정확한가요?
공통인수와 중복인수는 분수로 정확하게 찾습니다. 그다음 근과 계수를 약 14자리까지 수치로 계산하여 유효숫자 4자리로 보여 주므로, s² + s + 1의 극점 같은 무리수 극점은 소수로 나타납니다.
f(t)는 왜 t ≥ 0에서만 유효한가요?
단측 라플라스 변환은 t ≥ 0에서의 f 값만 사용합니다. 엄밀하게는 결과가 f(t)·u(t)이고 u는 단위 계단 함수이므로 t < 0에서 f(t) = 0입니다.
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