라플라스 변환 계산기
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결과
t의 거듭제곱, 지수함수, 사인과 코사인(위상 포함), sinh와 cosh, 이동된 계단 함수 u(t − c), 임펄스 δ(t − c) 같은 일반적인 항으로 이루어진 함수의 라플라스 변환을 구하세요. 계산기는 표준 표와 이동 정리로 각 항을 변환하고, 사용한 항목을 보여 주며, F(s)를 수렴 영역과 함께 알려 줍니다.
단계별 풀이
각 항을 변환하세요
사용한 표의 항목
변환들을 더하세요(선형성)
표를 이용해 라플라스 변환을 구하는 방법
- f(t)를 항들의 합으로 나누세요. 라플라스 변환은 선형입니다.
- 기본 쌍을 사용하세요: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²), L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- e^(at)를 곱하면 s가 이동합니다: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- 지연된 항 g(t)·u(t − c)는 e^(−cs)·L{g(t + c)}로 변환됩니다.
- 항들의 변환을 더하세요. F(s)는 Re(s)가 가장 큰 지수 a보다 클 때 존재합니다.
질문과 답변
f(t)는 어떻게 입력하나요?
예: 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). 거듭제곱은 ^, 지수함수는 e^(at) 또는 exp(at), 계단 함수는 u(t-c), 임펄스는 δ(t-c) 또는 delta(t-c)를 쓰세요. sin(2t + 1)처럼 위상도 쓸 수 있습니다.
t·u(t − 1)과 (t − 1)·u(t − 1)은 어떻게 다른가요?
두 번째는 지연된 램프 함수이며 e^(−s)/s²로 변환됩니다. 첫 번째는 t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1)이며 e^(−s)(1/s² + 1/s)로 변환됩니다. 계산기는 g(t + c)로 써서 둘 다 처리합니다.
t·sin(ωt)와 t·cos(ωt)는 어떻게 변환하나요?
L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹을 이용합니다. 허수부는 사인을, 실수부는 코사인을 줍니다. 예: L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
수렴 영역이란 무엇인가요?
변환 적분이 수렴하는 s의 값입니다. Re(s)가 f(t)의 가장 큰 증가율보다 큰 영역입니다. e^(3t)에서는 Re(s) > 3입니다.
사인 두 개의 곱을 입력할 수 있나요?
직접은 안 됩니다. 곱을 합으로 바꾸는 공식으로 먼저 고쳐 쓰세요. 예: sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
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