합성곱과 LTI 시스템: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 합성곱과 LTI 시스템 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 이산 합성곱, 연속 합성곱, 임펄스 응답과 푸리에 급수.

무료 연습 문제쉬움
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

수열 x[n] = {−3, 2, 4, 3}과 h[n] = {1, 1, 1}은 모두 n = 0에서 시작합니다. 합성곱 y[n] = x[n] ∗ h[n]의 샘플 y[1]을(를) 구하시오.

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
다음 문제 →
합성곱과 LTI 시스템 무료로 연습하기지금 합성곱과 LTI 시스템 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움이산 합성곱
  2. 보통연속 합성곱
  3. 어려움임펄스 응답과 푸리에 급수

합성곱과 LTI 시스템 문제 푸는 방법

  1. 두 신호를 모두 스케치하고 각각 0이 아닌 구간을 표시하세요.
  2. h를 뒤집어 밀어 보세요. 각 출력 시각마다 두 신호가 겹치는 구간을 찾습니다.
  3. 그 겹치는 구간에서만 곱해 더하세요(이산) 또는 곱해 적분하세요(연속).
  4. 결과를 확인하세요. 출력은 시작 시각의 합에서 시작해 끝 시각의 합에서 끝나며, 면적이나 합은 입력의 면적이나 합의 곱입니다.

흔한 실수

  • 합성곱을 하지 않고 두 신호를 샘플별로 곱하는 것.
  • h를 뒤집지 않고 이동하는 것. 그러면 합성곱이 아니라 상관이 됩니다.
  • 임펄스 응답을 묻는데 계단 응답 공식을 쓰거나 그 반대로 하는 것.
  • 고조파 차수를 잘못 세는 것: k/T에 있는 성분이 k차 고조파입니다.

핵심 공식

이산 합성곱
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
연속 합성곱
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
길이와 합
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
시작, 끝, 면적
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t)에 대한 계단 입력
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
1차 시스템
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
1차 점화식
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t)를 통과하는 정현파
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
푸리에 급수 진폭
구형파 ±A: 4A/(kπ), 홀수 k; 삼각파 ±A: 8A/(π²k²), 홀수 k; 펄스열: A·D와 (2A/(kπ))|sin kπD|

합성곱과 LTI 시스템 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 적분

1합성곱이 하는 일

선형 시불변(LTI) 시스템은 임펄스 응답 h로 완전히 기술됩니다. 임펄스 응답은 입력이 짧은 충격 하나일 때 시스템이 내는 출력입니다.

모든 입력은 크기가 조절되고 이동된 충격들의 나열로 볼 수 있습니다. 각 충격은 크기가 조절되고 이동된 h의 복사본을 만들며, 출력은 모든 복사본의 합입니다. 그 합이 합성곱 y = x ∗ h입니다.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

합성곱은 시스템에 기억이 있는 곳이면 어디서나 나타납니다. 필터, 센서, 구조물, 회로, 그리고 신호가 시간에 따라 퍼지는 현상이 그렇습니다.

자가 점검 시스템이 h[n] = {1, 3}(n = 0, 1)입니다. 입력은 단일 샘플 x[0] = 2입니다. 출력은 무엇입니까?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

답: y[n] = {2, 6}. 높이 2인 충격 하나는 2배로 조절된 h의 복사본 하나를 줍니다: {2·1, 2·3} = {2, 6}. 합성곱은 h의 모양을 유지하며 샘플들을 서로 더하지 않습니다.

2이산 합성곱 단계별 풀이

수열에서 합성곱은 합입니다.

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. h를 뒤집으세요: h[−k]는 k = 0을 기준으로 거울상이 된 h입니다.
  2. 뒤집은 h를 n만큼 이동하세요.
  3. x와 샘플별로 곱하고 곱을 더하세요. 그것이 y[n]입니다.
  4. 모든 n에 대해 반복하세요. x가 Lx개, h가 Lh개의 샘플을 가지면 y는 두 시작 인덱스의 합에서 시작하는 Lx + Lh − 1개의 샘플을 가집니다.

빠른 확인: y의 모든 샘플의 합은 (Σx)·(Σh)와 같습니다.

자가 점검 x[n] = {1, 2}와 h[n] = {3, 1}이 모두 n = 0에서 시작할 때, y[1]은 얼마입니까?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

답: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. x[1]·h[1]만 곱하면 2가 되고, 6은 두 곱 중 하나만 취한 것입니다.

3풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

x[n] = {2, 1, −1}과 h[n] = {1, 3}을 합성곱하세요. 둘 다 n = 0에서 시작합니다.

1

수열을 살펴보세요

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x는 샘플이 3개, h는 2개이므로 y는 3 + 2 − 1 = 4개의 샘플을 가지며 n = 0부터 n = 3까지입니다.

2

y[0]

x[0]과 h[0]만 겹칩니다.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2]와 y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

답 검산

Σx = 2, Σh = 4이므로 Σy는 8이어야 합니다. 실제로 2 + 7 + 2 − 3 = 8입니다.

답

n = 0 … 3에서 y[n] = {2, 7, 2, −3}.

4연속 합성곱

연속 시간 신호에서는 합이 적분이 됩니다.

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

방법은 같습니다. h를 뒤집어 위치 t까지 밀고, 두 신호가 모두 0이 아닌 구간에서 곱을 적분하세요.

x(t)t12h(t)t1

0 ≤ t < 1 s에서 x(t) = 2이고 h(t) = e−tu(t)일 때, 펄스가 켜져 있는 동안의 출력은 y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t)입니다. t = 1 s에서 2(1 − e−1) = 1.26에 이르고, 그 뒤에는 1.26·e−(t − 1)으로 감쇠합니다.

  • y는 두 시작 시각의 합에서 시작해 두 끝 시각의 합에서 끝납니다.
  • y 아래의 면적은 x 아래의 면적과 h 아래의 면적의 곱입니다.
  • 직사각형 펄스 두 개는 사다리꼴을, 같은 두 개는 삼각형을 줍니다.
자가 점검 x(t)는 0부터 2 s까지, h(t)는 1 s부터 4 s까지 0이 아닙니다. y(t) = x(t) ∗ h(t)는 언제 끝납니까?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

답: 6 s. y는 끝 시각의 합인 2 + 4 = 6 s에 끝납니다. 시작은 0 + 1 = 1 s이므로 지속 시간은 5 s이고, 5 s는 지속 시간이지 끝 시각이 아닙니다.

5임펄스 응답과 푸리에 급수

1차 시스템 y′ + a·y = b·x의 임펄스 응답은 h(t) = b·e−atu(t)입니다. 그 이산 버전 y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n]은 n ≥ 0에서 h[n] = b·aⁿ입니다.

정현파는 주파수가 바뀌지 않은 채 LTI 시스템을 통과합니다. 크기는 |H(jω)|만큼 조절되고 ∠H(jω)만큼 위상이 이동하며, H는 h의 푸리에 변환입니다. h(t) = b·e−atu(t)이면 H(jω) = b/(a + jω)입니다.

주기 T인 주기 신호는 주파수 k/T의 고조파들의 합입니다. 몇 가지 표준 진폭은 다음과 같습니다.

  • −A와 +A 사이의 구형파: 홀수 k만, 진폭 4A/(kπ).
  • −A와 +A 사이의 삼각파: 홀수 k만, 진폭 8A/(π²k²).
  • 높이 A, 듀티비 D인 펄스열: 평균 A·D, 고조파 (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
자가 점검 구형파가 −2와 +2 사이를 전환합니다. 3차 고조파의 진폭은 얼마입니까?
  1. 0.283
  2. 0.424
  3. 0.849
  4. 2.546

답: 0.849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0.849. 2.546은 기본파이고, 0.283은 삼각파처럼 k²으로 나눈 값이며, 0.424는 0에서 A까지의 파형에 쓰는 공식 2A/(kπ)를 쓴 값입니다.

6흔한 실수

  • 합성곱을 하지 않고 두 신호를 샘플별로 곱하는 것.
  • h를 뒤집지 않고 미는 것. 그것은 합성곱이 아니라 상관입니다.
  • 임펄스 응답과 계단 응답을 혼동하는 것: 계단 응답은 h의 누적합 또는 적분입니다.
  • 고조파를 잘못 세는 것: k/T에 있는 성분이 k차 고조파입니다.
자가 점검 x[n] = {1, 2}와 h[n] = {1, 1}이 모두 n = 0에서 시작합니다. y[1]은 얼마입니까?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

답: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. 샘플별 곱 x[1]·h[1]은 2만 줍니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 이산 합성곱. 출력 샘플 하나, 가장 큰 샘플, 모든 샘플의 합, y의 첫 인덱스나 마지막 인덱스, FIR 필터의 출력, 또는 계단 입력에 대한 응답을 구합니다.
  • 보통: 연속 합성곱. 두 펄스, 지수함수와 계단 또는 펄스, 또는 두 지수함수에 대해 주어진 시각의 y(t)를 구하고, y의 면적, 시작, 끝 또는 지속 시간을 구합니다.
  • 어려움: 임펄스 응답과 푸리에 급수. 1차 미분방정식의 h(t), 점화식의 h[n] 또는 계단 응답, 정현파의 이득이나 위상, 구형파, 삼각파, 펄스파의 고조파를 구합니다.

앱에서 단계별로 배우기앱에서 단계별로 배우기

예제 풀이

예제 1쉬움
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

수열 x[n] = {4, −3, −2}과 h[n] = {3, 1}은 모두 n = 0에서 시작합니다. 합성곱 y[n] = x[n] ∗ h[n]의 샘플 y[1]을(를) 구하시오.

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

구하는 값: y[1]

힌트 보기
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. n = 1일 때 항은 k = 0, 1입니다.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
정답과 단계별 풀이 보기

이산 합성곱: 선형 시불변 시스템의 출력은 y[n] = Σk x[k]·h[n − k]입니다. h를 뒤집고 n만큼 이동한 다음 x와 샘플별로 곱해 더합니다. x가 nx에서 시작하는 Lx개의 샘플을, h가 nh에서 시작하는 Lh개의 샘플을 가지면, y는 nx + nh에서 시작하는 Lx + Lh − 1개의 샘플을 가집니다. y의 모든 샘플의 합은 (Σx)·(Σh)와 같습니다. FIR 필터 y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + …는 h[n] = bn과의 합성곱입니다.

합의 항들

x[k]와 h[n − k]가 모두 존재하는 k만 기여합니다.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

더하기

y[1] = −5

답

y[1] = −5
예제 2보통
x(t)t11h(t)t1

펄스 x(t) = 1(0 ≤ t < 1 s, 그 밖에서는 0)가 h(t) = e−2tu(t)인 시스템에 가해집니다. 펄스가 끝난 뒤 t = 2.5 s에서의 출력 y(2.5)을(를) 구하시오.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2.5 s

구하는 값: y(2.5)

힌트 보기
  1. 펄스를 t = 0에서의 계단 입력에서 t = 1 s에서의 계단 입력을 뺀 것으로 쓰세요.
  2. 계단 응답은 (A/a)(1 − e−at)입니다.
  3. 펄스 이후: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
정답과 단계별 풀이 보기

연속 합성곱: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. h를 뒤집어 위치 t까지 밀고 겹치는 부분의 곱을 적분합니다. 인과 신호에서는 적분 구간이 0에서 t까지입니다. 유용한 결과: y의 면적은 x의 면적과 h의 면적의 곱입니다. x가 t₁부터 t₂까지, h가 t₃부터 t₄까지 지속되면 y는 t₁ + t₃부터 t₂ + t₄까지 지속됩니다. h(t) = e−atu(t)이고 높이 A의 계단 입력이면 y(t) = (A/a)(1 − e−at)입니다.

펄스 종료 시점의 출력

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0.4323

펄스 이후의 감쇠

y(2.5) = 0.4323·e−2·1.5 = 0.02152

답

y(2.5) = 0.02152
예제 3어려움
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

시스템이 y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t)를 따릅니다. t = 0.05 s에서의 임펄스 응답 h(0.05)을(를) 구하시오.

y′ + 5y = 3xt = 0.05 s

구하는 값: h(0.05)

힌트 보기
  1. 초기 조건을 0으로 하고 라플라스 변환을 취하세요: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
정답과 단계별 풀이 보기

임펄스 응답과 푸리에 급수: 임펄스 응답 h(t)는 LTI 시스템을 완전히 기술합니다. y′ + a·y = b·x에서는 h(t) = b·e−atu(t)이고, y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n]에서는 h[n] = b·aⁿu[n]입니다. 정현파 cos ωt는 이득 |H(jω)|와 위상 ∠H(jω)를 받으며 통과합니다. 여기서 H는 h의 푸리에 변환입니다. 주기 신호는 k/T의 고조파들의 합입니다. ±A의 구형파는 홀수 고조파만 가지며 진폭이 4A/(kπ)이고, 최댓값 A의 삼각파는 8A/(π²k²), 높이 A이고 듀티비 D인 펄스열은 평균이 A·D이며 고조파가 (2A/(kπ))·|sin(kπD)|입니다.

전달함수

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

임펄스 응답

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0.05) = 3·e−0.25 = 2.336

답

h(0.05) = 2.336

질문과 답변

합성곱과 LTI 시스템: 무엇인가요?

모든 입력은 크기가 조절되고 이동된 충격들의 나열로 볼 수 있습니다. 각 충격은 크기가 조절되고 이동된 h의 복사본을 만들며, 출력은 모든 복사본의 합입니다. 그 합이 합성곱 y = x ∗ h입니다.

합성곱은 시스템에 기억이 있는 곳이면 어디서나 나타납니다. 필터, 센서, 구조물, 회로, 그리고 신호가 시간에 따라 퍼지는 현상이 그렇습니다.

합성곱과 LTI 시스템 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 두 신호를 모두 스케치하고 각각 0이 아닌 구간을 표시하세요.
  2. h를 뒤집어 밀어 보세요. 각 출력 시각마다 두 신호가 겹치는 구간을 찾습니다.
  3. 그 겹치는 구간에서만 곱해 더하세요(이산) 또는 곱해 적분하세요(연속).
  4. 결과를 확인하세요. 출력은 시작 시각의 합에서 시작해 끝 시각의 합에서 끝나며, 면적이나 합은 입력의 면적이나 합의 곱입니다.
합성곱과 LTI 시스템에서 자주 하는 실수는?
  • 합성곱을 하지 않고 두 신호를 샘플별로 곱하는 것.
  • h를 뒤집지 않고 이동하는 것. 그러면 합성곱이 아니라 상관이 됩니다.
  • 임펄스 응답을 묻는데 계단 응답 공식을 쓰거나 그 반대로 하는 것.
  • 고조파 차수를 잘못 세는 것: k/T에 있는 성분이 k차 고조파입니다.
합성곱과 LTI 시스템 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 이산 합성곱
  • 보통: 연속 합성곱
  • 어려움: 임펄스 응답과 푸리에 급수

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

이 주제의 앞뒤 주제

먼저 배우기

적분

이 주제가 포함된 강의

신호 및 시스템공업수학 2

전기의 다른 주제

저항의 직렬·병렬중첩의 원리테브난·노턴마디 해석망 해석RC·RL 과도 현상교류 임피던스와 페이저교류 전력과 역률LC 공진, Q 인자, 대역폭3상 전력변압기직류 전동기연산 증폭기 회로다이오드와 트랜지스터DC-DC 컨버터디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지데이터 수집과 표본화라플라스 변환블록선도계단 응답보드 선도와 여유안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적정상상태 오차와 PID 제어

인쇄용 학습지

정답이 있는 합성곱과 LTI 시스템 학습지
합성곱과 LTI 시스템 무료로 연습하기지금 합성곱과 LTI 시스템 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.