연립일차방정식 풀이기(2×2, 3×3)
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결과
두 개 또는 세 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 풉니다. 2x + y − z = 8처럼 평소에 쓰는 대로 방정식을 입력하거나 첨가 행렬을 입력하세요. 계산기는 가우스-조르당 소거법의 모든 행 연산이나 크라메르 공식의 행렬식을 보여 주고, 정확한 분수로 계산하며, 해가 없거나 무수히 많은 연립방정식을 알아보고 후자는 매개변수로 나타냅니다.
단계별 풀이
연립방정식
첨가 행렬
기둥 1 (x): 피벗이 있는 행 1
기둥 2 (y): 피벗이 있는 행 2
기둥 3 (z): 피벗이 있는 행 3
해 읽기
원래 방정식으로 검산
핵심 공식
- 2×2 행렬식
- det = ad − bc
- 2×2 역행렬
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- 크라메르 공식
- xi = det(Ai)/det(A)
소거법으로 연립일차방정식을 푸는 방법
- 연립방정식을 첨가 행렬로 씁니다. 방정식마다 한 행에 x, y, z의 계수를 쓰고, 막대 뒤에 우변을 씁니다.
- 첫 번째 열에서 피벗(0이 아닌 성분, 가능하면 1)을 고르고 필요하면 첫 번째 행으로 바꿔 놓습니다.
- 피벗 행을 피벗으로 나눈 다음, 그 행의 배수를 다른 행에서 빼서 그 열의 나머지를 0으로 만듭니다.
- 계수 부분이 기약 행 사다리꼴이 될 때까지 다음 열과 다음 행에 대해 반복합니다.
- 해를 읽습니다. c ≠ 0인 행 0 = c가 나오면 해가 없고, 피벗이 없는 열이 있으면 자유 변수가 있어 해가 무수히 많습니다.
- 해를 원래 방정식에 대입하여 확인합니다.
질문과 답변
크라메르 공식을 언제 쓰나요?
행렬식이 0이 아닌 작은 연립방정식, 특히 2×2에 씁니다. 각 미지수는 행렬식의 비로 구합니다: x = Dx/D. 더 큰 연립방정식이나 D = 0일 때는 소거법이 더 빠르고, 해가 없는지 무수히 많은지도 알려 줍니다.
연립방정식에 해가 없는지 어떻게 알 수 있나요?
소거 결과 모든 계수가 0인데 우변이 0이 아닌 행, 예를 들어 0 = 3이 나올 때입니다. 기하학적으로는 직선이나 평면이 공통점을 갖지 않는 경우이며, 예로 평행한 두 직선이 있습니다.
해가 무수히 많다는 것은 무슨 뜻인가요?
한 방정식이 다른 방정식들의 조합이어서, 독립인 방정식의 수가 미지수보다 적다는 뜻입니다. 해는 직선이나 평면을 이루며 매개변수 t로 나타냅니다. 예를 들면 x = 2 − t, y = 1 + t, z = t입니다.
방정식은 어떻게 입력하나요?
방정식을 세미콜론으로 구분하고 각 변수 앞에 계수를 씁니다: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. 1/2x 같은 분수와 소수를 쓸 수 있고, 변수가 양변에 모두 나타나도 됩니다.
계수(랭크)란 무엇인가요?
소거 후 피벗의 개수로, 독립인 방정식의 수입니다. 정사각 연립방정식은 계수가 미지수의 개수와 같을 때, 즉 행렬식이 0이 아닐 때에만 유일한 해를 가집니다.
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