고유값과 고유벡터 계산기
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결과
λ15
λ23
λ32
특성다항식λ³ − 10λ² + 31λ − 30
대각합10
행렬식30
| 고유값 | 중복도 | 고유벡터 | 단위 고유벡터 |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0.8944, 0, 0.4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0.5774, 0.5774, −0.5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0.7071, 0, −0.7071) |
2×2 또는 3×3 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하세요. 계산기는 det(A − λI)를 전개해 특성다항식을 만들고, 실수 또는 복소수 고유값을 중복도와 함께 구하며, (A − λI)v = 0을 풀어 모든 실수 고유값의 고유벡터를 구합니다. 각 고유벡터는 A·v를 계산해 검증하고, 중복된 고유값에서는 행렬을 대각화할 수 있는지 보여 줍니다.
단계별 풀이
특성 방정식 det(A − λI) = 0
det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, 주 2×2 소행렬식의 합 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0
고윳값
(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
검산: Σλ = 10 = tr A
고유벡터 (λ = 5)
A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓
고유벡터 (λ = 3)
A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓
고유벡터 (λ = 2)
A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓
핵심 공식
- 고윳값
- det(A − λI) = 0
고유값과 고유벡터를 구하는 방법
- A의 모든 대각 성분에서 λ를 빼서 A − λI를 만드세요.
- 행렬식을 0으로 놓으세요: det(A − λI) = 0. 2×2 행렬이면 λ² − (tr A)λ + det A = 0이고, 3×3 행렬이면 3차 방정식입니다.
- 특성 방정식을 푸세요. 검산: 고유값의 합은 대각합과 같고 곱은 행렬식과 같습니다.
- 각 고유값마다 행 감소로 (A − λI)v = 0을 푸세요. 해는 직선(또는 평면)을 이루고, 그 안의 0이 아닌 모든 벡터가 고유벡터입니다.
- 모든 고유벡터를 검증하세요. A·v는 λ·v와 같아야 합니다.
질문과 답변
행렬은 어떻게 입력하나요?
행은 세미콜론으로, 각 행의 숫자는 공백으로 구분하여 입력하세요. 예를 들어 3×3 행렬은 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3입니다. 소수와 음수도 쓸 수 있습니다.
행렬이 왜 복소수 고유값을 가질 수 있나요?
특성다항식은 복소수 근을 가질 수 있고, 실수 행렬에서는 항상 켤레 쌍으로 나타납니다. 회전 행렬 0 -1; 1 0은 고유값이 ±i인데, 회전하면 방향이 유지되는 실수 벡터가 없기 때문입니다.
중복된 고유값은 무엇을 뜻하나요?
특성다항식의 중복도가 2 또는 3인 근입니다. 행렬은 단위행렬처럼 그만큼 독립인 고유벡터를 가질 수도 있고 더 적게 가질 수도 있습니다. 더 적으면 결함행렬이며 대각화할 수 없습니다.
고유벡터는 유일한가요?
아닙니다. 고유벡터의 0이 아닌 상수배도 고유벡터입니다. 계산기는 가능하면 정수로 된 간단한 형태와 길이가 1인 단위벡터를 보여 줍니다.
고유값은 어디에 쓰이나요?
진동계의 고유 진동수, 응력 텐서의 주응력, 미분방정식계의 안정성, 주성분 분석의 주방향을 줍니다.
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