수치해석: 연습 문제와 시험 문제

공식이 없는 답을 계산합니다: 이분법과 뉴턴–랩슨법으로 방정식의 근 찾기, 표에서의 보간, 사다리꼴 공식과 심프슨 공식을 쓰는 수치 적분, 오일러법, 호인법, 룽게–쿠타법을 쓰는 미분방정식. 시험에서는 표에서 몇 번의 반복을 하고 오차의 크기를 구하라고 합니다.

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이 강의의 주제

수치해석 시험 팁

모든 반복값에 유효숫자를 여섯 자리 이상 유지하고 최종 답에서만 반올림하세요.
아무것도 더하기 전에 값의 표 아래에 적분 공식의 가중치를 쓰세요.
테일러 다항식으로 오차를 설명하세요: 오일러법의 오차는 h에, 심프슨 공식의 오차는 h⁴에 비례합니다.

예제 풀이

수치해석쉬움

이분법은 길이 4의 구간에서 시작한다. 단계마다 구간이 절반이 된다. 구간이 0.0001보다 짧아지려면 최소 몇 단계(n)가 필요한가?

b − a = 4ε = 0.0001

구하는 값: n

힌트 보기

n단계 뒤 구간의 길이는 (b − a)/2ⁿ입니다.
4/2ⁿ < 0.0001을(를) 풀면 2ⁿ > 40000입니다.
n > log₂(40000) = 15.29

정답과 단계별 풀이 보기

근 찾기와 보간: 이분법은 f의 부호가 바뀌는 구간 [a, b]를 유지합니다. 단계마다 중점 c = (a + b)/2를 취하고 부호가 여전히 바뀌는 쪽 절반을 남기므로, n단계 뒤 구간의 폭은 (b − a)/2ⁿ입니다. 뉴턴–랩슨법은 접선을 따라 축까지 갑니다: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n). 단순근 근처에서는 단계마다 올바른 자릿수가 대략 두 배가 됩니다. 표의 두 점 사이의 선형 보간: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

조건

4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000

로그

n > ln(40000)/ln 2 = 15.29

n = 16

검산

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

답

n = 16

수열과 급수보통

합 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3))을(를) 구하시오.

a_k = 12/(k(k + 3))

구하는 값: S

힌트 보기

부분분수: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
처음 몇 개의 항을 써 보세요. 대부분 약분됩니다(망원급수).
남는 것은 (12/3)·(1 + … + 1/3)입니다.

정답과 단계별 풀이 보기

부분분수 전개

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

취소

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

답

S = 7.333

연습 방법

“이 강의 연습하기”는 실제 시험처럼 모든 주제의 문제를 섞어서 냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
모의고사는 제한 시간이 있고 힌트가 없으며, 끝나면 점수와 함께 전체 풀이를 검토할 수 있습니다.

이 강의의 계산기

행렬식 및 역행렬 계산기 고유값과 고유벡터 계산기 반감기 및 지수적 감소 계산기 연립일차방정식 풀이기(2×2, 3×3)