미분방정식
- 지수적 성장/감소
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 반감기
- k = ln 2 / t½
- 뉴턴의 냉각 법칙
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 적분 인자
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 혼합 탱크
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
미분방정식: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
적분
- 거듭제곱 미분법
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 정적분
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 주요 적분
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 곡선 사이의 넓이
- ∫ab (f − g) dx
방법
- 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
- 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
- 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
- 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.
도함수
- 거듭제곱 미분법
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 곱의 법칙
- (uv)′ = u′v + uv′
- 몫의 미분법
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 연쇄 법칙
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 주요 도함수
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
방법
- 구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
- x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
- 필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
- 간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.
수치해석
- 이분법
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 뉴턴–랩슨법
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 선형 보간
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 사다리꼴 공식
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 심프슨 공식(n은 짝수)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 사다리꼴 공식의 오차 한계
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 오일러
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 호인법
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
방법
- 근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
- 표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
- 적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
- 미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.
2연습 문제
1.미분방정식보통
y(0) = 2, y′(0) = -2일 때 y″ + 7y′ + 12y = 0을(를) 푸시오. y(2)을(를) 구하시오.
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(2) =
2.미분방정식어려움
시스템이 t ≥ 0에서 y″ + 3y′ + 27.25y = 272.5을 따르며 정지 상태에서 출발합니다: y(0) = 0, y′(0) = 0. 계단 응답의 최댓값 ymax을(를) 구하시오.
y″ + 3y′ + 27.25y = 272.5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3.적분보통
y = 3x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 2까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.
y = 3x0 ≤ x ≤ 2
V =
4.적분어려움
직선 y = 2x와 포물선 y = x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.
y = 2xy = x²
V =
5.도함수보통
f(x) = ln(3x2 + 2)이라 합시다. f′(3)를 구하세요.
f(x) = ln(3x2 + 2)x = 3
f′(3) =
6.도함수어려움
x = 1에서 f(x) = 3x2 + 3x − 1의 접선은 y축과 y = b에서 만납니다. b를 구하세요.
f(x) = 3x2 + 3x − 1x = 1
b =
7.수치해석보통
사다리꼴 공식 n = 4으로 ∫01 sin x dx를 근사하고 정확한 값과 비교하시오. 절대 오차 |E| = |T − I|를 구하시오.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
8.수치해석어려움
y′ = t² + y², y(0) = 0.5에 대해 h = 0.2으로 고전적 룽게–쿠타법(RK4)을 한 단계 수행하시오. y₁ ≈ y(0.2)를 구하시오.
y′ = t² + y²y(0) = 0.5h = 0.2
y1 =
3용액
1.미분방정식
답: y(2) = 0.01353
2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = ert를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·er₁t + B·er₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·ert(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0으로 쓰면 ωn은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.
특성근
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
초기값으로부터 구한 상수
A + B = 2, −3A − 4B = -2
A = 6, B = −4
계산하기
y(2) = 6·e−6 + (−4)·e−8 = 0.01353
답
y(2) = 0.01353
2.미분방정식
답: ymax = 13.9
2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = ert를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·er₁t + B·er₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·ert(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0으로 쓰면 ωn은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.
정상값과 근
yss = 10, r = −1.5 ± 5j
초기값으로부터 구한 상수
y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1.5A + 5B = 0 → B = −3
최고점
t = π/5 = 0.6283
ymax = 10·(1 + e−1.5·π/5) = 13.9
답
ymax = 13.9
3.적분
답: V = 75.4
회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.
원판법
V = π∫₀2 9x² dx
적분하기
V = π·9·2³/3 = 75.4
답
V = 75.4
확인: 반지름 6, 높이 2인 원뿔은 (1/3)πr²h = 75.4입니다.
4.적분
답: V = 13.4
회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.
교점
2x = 1x² → x = 0, x = 2
와셔법
V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx
적분하기
V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4.267 = 13.4
답
V = 13.4
5.도함수
답: f′(3) = 0.6207
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
로그의 연쇄 법칙
f′(x) = 6x/(3x2 + 2)
대입하기
f′(3) = 18/29 = 0.6207
답
f′(3) = 0.6207
6.도함수
답: b = −4
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
접점과 기울기
f(1) = 5
f′(x) = 6x + 3 → f′(1) = 9
x = 0에서의 접선 값
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 9·1 = −4
답
b = −4
7.수치해석
답: |E| = 0.002397
수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.
정확한 값
I = 0.459698
사다리꼴 공식
T = (0.25/2)·(0 + 2·0.247404 + 2·0.479426 + 2·0.681639 + 0.841471) = 0.457301
오차
|E| = |0.457301 − 0.459698| = 0.002397
답
|E| = 0.002397
상대 오차: 0.5214%.
8.수치해석
답: y1 = 0.5584
y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.
기울기 네 개
k₁ = f(0, 0.5) = 0.25
k₂ = f(0.1, 0.525) = 0.285625
k₃ = f(0.1, 0.528563) = 0.289378
k₄ = f(0.2, 0.557876) = 0.351225
합치기
y₁ = 0.5 + (0.2/6)(0.25 + 2·0.285625 + 2·0.289378 + 0.351225) = 0.5584
답
y1 = 0.5584
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