이차방정식 풀이기 (ax² + bx + c = 0)
값을 입력하세요. 입력하는 동안 답과 전체 풀이가 바로 업데이트됩니다.
결과
근x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2.5
x₂−1
판별식 Δ49
근의 종류서로 다른 두 실근
꼭짓점(0.75, −6.125)
대칭축x = 0.75
y절편−5
포물선의 방향위로 열림(꼭짓점에서 최솟값)
인수분해 형식(2x − 5)(x + 1)
모든 이차방정식 ax² + bx + c = 0을 풉니다. 계산기는 판별식을 구하고 근의 공식을 사용하여, 복소근을 포함한 근을 소수와 함께 분수나 2 ± √3처럼 간단히 한 제곱근 꼴의 정확한 형태로 제시합니다. 또한 꼭짓점, 대칭축, 인수분해 꼴을 구하고 비에타의 공식으로 근을 검산합니다.
단계별 풀이
a, b, c 찾기
2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5
판별식
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → 서로 다른 두 실근
근의 공식
x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
정확한 값: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2.5, x₂ = −1
꼭짓점과 대칭축
h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0.75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6.125
꼭짓점 형식: y = 2(x − 0.75)2 − 6.125
인수분해 형식
2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)
비에타의 공식으로 검산
x₁ + x₂ = −b/a = 1.5
x₁·x₂ = c/a = −2.5
핵심 공식
- p² < 4q인 이차방정식
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
이차방정식을 푸는 방법
- 방정식을 표준형 ax² + bx + c = 0으로 쓰고 부호를 포함하여 a, b, c를 읽어 냅니다.
- 판별식 Δ = b² − 4ac를 계산합니다. Δ > 0이면 서로 다른 두 실근, Δ = 0이면 중근 하나, Δ < 0이면 서로 켤레인 두 복소근입니다.
- 근의 공식 x = (−b ± √Δ)/(2a)를 사용합니다. 제곱인 인수를 밖으로 꺼내 제곱근을 간단히 합니다: √12 = 2√3.
- Δ < 0이면 √Δ = i·√|Δ|로 쓰므로 근은 −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a)입니다.
- 포물선 y = ax² + bx + c의 꼭짓점은 x = −b/(2a)에 있으며, 이를 대입하여 y좌표를 구합니다.
- 검산: 두 근의 합은 −b/a이고 곱은 c/a입니다.
질문과 답변
공식 대신 인수분해를 언제 쓸 수 있나요?
판별식이 완전제곱수이고 계수가 정수이면 근이 유리수이고 이차식이 정수 범위에서 인수분해됩니다. 예를 들어 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)입니다. 그렇지 않으면 근의 공식이 확실한 방법입니다.
판별식이 음수이면 무슨 뜻인가요?
포물선이 x축과 만나지 않으므로 실근이 없습니다. 두 근은 켤레 복소수 p ± qi이며, 예를 들어 감쇠 진동과 회로 해석에서 중요합니다.
꼭짓점 꼴이란 무엇인가요?
y = a(x − h)² + k이며 (h, k)가 꼭짓점입니다. 포물선의 최솟값(a > 0) 또는 최댓값(a < 0)이 바로 드러나며, 완전제곱식으로 만들어 구합니다.
a = 0이면 어떻게 되나요?
그러면 방정식은 일차식 bx + c = 0이며 해는 x = −c/b 하나입니다. 근의 공식은 0으로 나누게 되므로, 계산기는 0이 아닌 a를 요구합니다.
계산기가 왜 정확한 근을 제공하나요?
시험에서는 소수보다 (3 ± √17)/4 같은 답을 요구하는 경우가 많습니다. a, b, c가 정수나 소수이면 계산기는 정확한 분수로 계산하고 제곱근을 간단히 합니다.
직접 연습해 보세요
복소수 연습하기
계산기는 답을 알려 줍니다. 시험에서는 푸는 방법이 필요합니다. 새 문제, 힌트, 자세한 풀이로 연습하세요.