기댓값과 분산 계산기
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결과
E[X] = μ1.7
분산0.81
표준편차0.9
E[X²]3.7
| x | P(x) | x·P(x) | x²·P(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0 | 0 |
| 1 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
| 2 | 0.4 | 0.8 | 1.6 |
| 3 | 0.2 | 0.6 | 1.8 |
이산 확률변수의 기댓값, 분산, 표준편차를 구하세요. 가능한 값과 그 확률을 입력하세요. 1/6 같은 분수도 가능합니다. 계산기는 확률의 합이 1인지 확인하고 계산에 쓴 x·P(x)와 x²·P(x)의 표를 보여 줍니다.
단계별 풀이
확률을 확인하세요
Σp = 0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.2 = 1 ✓
기댓값
E[X] = Σ x·P(x) = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.4 + 3·0.2 = 1.7
분산과 표준편차
E[X²] = Σ x²·P(x) = 3.7
Var(X) = E[X²] − (E[X])² = 3.7 − 1.7² = 0.81
σ = √0.81 = 0.9
핵심 공식
- 기댓값
- E[X] = Σ xi·pi
- 분산
- Var(X) = Σ pi(xi − E[X])² = E[X²] − E[X]²
- 확률
- Σ pi = 1
기댓값을 계산하는 방법
- 가능한 모든 값 x와 그 확률 P(x)를 나열하세요. 확률의 합은 1이어야 합니다.
- 기댓값: E[X] = Σ x·P(x).
- 2차 모멘트: E[X²] = Σ x²·P(x).
- 분산: Var(X) = E[X²] − (E[X])²이고, 표준편차는 그 제곱근입니다.
질문과 답변
기댓값은 무엇을 뜻하나요?
실험을 여러 번 반복했을 때의 장기 평균입니다. 가능한 값 중 하나일 필요는 없습니다. 공정한 주사위의 기댓값은 3.5입니다.
게임과 의사 결정에서 기댓값은 어떻게 쓰나요?
순이익을 x로 쓰세요. 내기의 기대 순이익이 음수이면 개별 게임은 이길 수 있어도 장기적으로는 평균적으로 돈을 잃습니다.
확률의 합이 1이 아니라는 오류가 왜 나오나요?
모든 결과를 정확히 한 번씩 나열해야 합니다. 0.33, 0.33, 0.33처럼 반올림한 소수는 합이 0.99이므로 대신 1/3을 입력하세요.
E[aX + b]와 Var(aX + b)는 어떻게 바뀌나요?
E[aX + b] = a·E[X] + b이고 Var(aX + b) = a²·Var(X)입니다. 상수를 더하면 평균은 이동하지만 흩어진 정도는 변하지 않습니다.
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계산기는 답을 알려 줍니다. 시험에서는 푸는 방법이 필요합니다. 새 문제, 힌트, 자세한 풀이로 연습하세요.