미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

2.적분어려움

직선 y = x와 포물선 y = x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.

y = xy = x²

V =

3.수열과 급수보통

멱급수 Σ_k=1^∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ의 수렴 반지름 R을(를) 구하시오.

Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2

R =

4.수열과 급수어려움

f(x) = eˣ을(를) x = 1.5에서 4차 매클로린 다항식으로 근사한다. M = e^1.5 = 4.482으로 라그랑주 오차 한계 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!을 써서 가능한 최대 오차 |R₄|을(를) 구하시오.

f(x) = eˣn = 4x = 1.5M = 4.482

|R₄| =

5.다변수 미적분보통

f(x, y) = −3x³y − 4x² + 5y² − xy의 (−2, −2)에서의 접평면을 이용해 f(−1.8, −1.9)을(를) 근사하시오. 선형 근삿값 L을(를) 구하시오.

f(x, y) = −3x³y − 4x² + 5y² − xy(a, b) = (−2, −2)(x, y) = (−1.8, −1.9)

L =

6.다변수 미적분어려움

표시된 점들은 f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy의 임계점이다. 안장점을 클릭하세요.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

1A (2, 2)
2B (−2, −2)
3C (0, 0)

7.미분방정식보통

5 °C의 탄산음료 캔을 냉장고에서 꺼내 24 °C인 방에 둡니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. k = 0.06 min⁻¹일 때 23분 후의 온도 T을(를) 구하세요.

T₀ = 5 °CT_a = 24 °Ck = 0.06 min⁻¹t = 23 min

T = °C

8.미분방정식어려움

x > 0에서 초기값 문제 y′ + y/x = 3x, y(1) = 5를 푸세요. y(2)을(를) 구하세요.

y′ + y/x = 3xy(1) = 5

y(2) =

3용액

1.적분

답: I = 1

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

원시함수

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

극한

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

답

I = 1

2.적분

답: V = 0.4189

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

교점

1x = 1x² → x = 0, x = 1

와셔법

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

적분하기

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0.1333 = 0.4189

답

V = 0.4189

3.수열과 급수

답: R = 2.718

계수

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

반지름

R = 2.718

답

R = 2.718

비율 판정법은 두 끝점에서는 아무것도 알려 주지 않습니다. 따로 확인해야 합니다.

4.수열과 급수

답: |R₄| = 0.2836

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

도함수의 한계

M = e^1.5 = 4.482

라그랑주 한계

|R₄| ≤ 4.482·1.5⁵/5! = 0.2836

답

|R₄| = 0.2836

실제 오차는 더 작습니다: |f(1.5) − P₄(1.5)| = 0.08325.

5.다변수 미적분

답: L = −29.4

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 값과 기울기

f(−2, −2) = −48

f_x = −9x²y − 8x − y → f_x(−2, −2) = 90

f_y = −3x³ + 10y − x → f_y(−2, −2) = 6

접평면

z = −48 + 90(x + 2) + 6(y + 2)

z = 90x + 6y + 144

선형 근사

L = −48 + 90·0.2 + 6·0.1 = −29.4

답

L = −29.4

정확한 값은 f = −31.5724입니다. 변화가 작으므로 평면이 가깝습니다.

6.다변수 미적분

답: C (0, 0)

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

임계점

f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 푸세요.

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

이계 도함수 판정법

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → 안장점

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → 극소

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → 극소

그 점

C (0, 0): 안장점

답

C (0, 0)

7.미분방정식

답: T = 19.22 °C

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 법칙의 해

T(t) = 24 + (−19)·e^−0.06t

t 대입

T(23) = 24 + (−19)·0.2516 = 19.22 °C

답

T = 19.22 °C

8.미분방정식

답: y(2) = 6

적분 인자

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

적분하기

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

초기 조건

5 = 3/3 + C → C = 4

계산하기

y(2) = (3·2³/3 + 4)/2¹ = 6

답

y(2) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2