공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
I = ∫₀π/2 x·sin x dx (x는 라디안)을 계산하시오.
I = ∫₀1.5 x²·eˣ dx을(를) 계산하시오.
멱급수 Σk=1∞ 16ᵏx²ᵏ/k의 수렴 반지름 R을(를) 구하시오.
f(x) = e0.5x의 3차 매클로린 다항식으로 f(2.5)을(를) 근사하시오. P₃(2.5)을(를) 구하시오.
(x, y) = (−2, 2)인 점에서 z = −x²y² + 3x² − y² − xy의 접평면은 z = px + qy + c로 쓸 수 있다. c을(를) 구하시오.
y = 0, x = 2, y = 3x으로 둘러싸인 삼각형 T 위에서 I = ∬T (2x − 2y) dA를 계산하시오.
90 °C의 커피 한 잔을 22 °C인 방에 둡니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. k = 0.08 min⁻¹일 때 28분 후의 온도 T을(를) 구하세요.
x > 0에서 초기값 문제 y′ + y/x = 1, y(1) = 0를 푸세요. y(2)을(를) 구하세요.
답: I = 1
부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.
답: I = 3.602
부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.
답: R = 0.25
수렴: 항이 0으로 가지 않으면 급수는 발산합니다(n번째 항 판정법). Σ1/kᵖ은 p > 1일 때만, Σrᵏ은 |r| < 1일 때만 수렴합니다. k가 클 때 항이 이들과 비슷하게 행동하면 비교하세요. 비율 판정법: L = lim |ak+1/ak|, 근 판정법: L = lim |ak|1/k. L < 1이면 수렴, L > 1이면 발산, L = 1이면 아무것도 결정하지 못합니다. 멱급수 Σck(x − x₀)ᵏ은 R = lim |ck/ck+1|일 때 |x − x₀| < R에서 수렴합니다. 항이 0으로 감소하는 교대급수는 수렴합니다.
비율 판정법은 두 끝점에서는 아무것도 알려 주지 않습니다. 따로 확인해야 합니다.
답: P₃(2.5) = 3.357
테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.
정확한 값은 f(2.5) = 3.490343입니다. 항을 더 많이 쓰거나 0에 더 가까운 점을 택하면 오차 0.133572이(가) 줄어듭니다.
답: c = 36
그래디언트: ∇f = (fx, fy)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 Duf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
답: I = −8
임계점과 이중적분: 임계점에서는 fx = fy = 0입니다. D = fxxfyy − fxy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 fxx > 0이면 극소, D > 0이고 fxx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).
답: T = 29.24 °C
1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.
답: y(2) = 0.75
1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2