미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

I = ∫₁^1.5 x·ln x dx을(를) 계산하시오.

∫₁^1.5 x ln x dx

I =

2.적분어려움

포물선 y = 1 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 1 − x²

A =

3.수열과 급수보통

멱급수 Σ_k=1^∞ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)²은(는) x₀ = 3 주위의 구간에서 수렴한다. 그 구간의 왼쪽 끝 x을(를) 구하시오.

Σ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)²x₀ = 3

x =

4.수열과 급수어려움

f(x) = sin x을(를) x = 0.3에서 5차 매클로린 다항식으로 근사한다. M = 1으로 라그랑주 오차 한계 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!을 써서 가능한 최대 오차 |R₅|을(를) 구하시오.

f(x) = sin xn = 5x = 0.3M = 1

|R₅| =

5.다변수 미적분보통

f(x, y) = 2x³y³ + x³ + 2y² + 4xy의 (3, −2)에서의 접평면을 이용해 f(3.05, −2.2)을(를) 근사하시오. 선형 근삿값 L을(를) 구하시오.

f(x, y) = 2x³y³ + x³ + 2y² + 4xy(a, b) = (3, −2)(x, y) = (3.05, −2.2)

L =

6.다변수 미적분어려움

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y은(는) (−3, 3)에서 임계점을 가진다. 거기서 판별식 D = f_xxf_yy − f_xy²를 계산하시오.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6yP = (−3, 3)

D =

7.미분방정식보통

y(0) = 4, y′(0) = 4일 때 y″ + 5y′ + 4y = 0을(를) 푸시오. y(1)을(를) 구하시오.

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 4y′(0) = 4

y(1) =

8.미분방정식어려움

시스템이 t ≥ 0에서 y″ + 4y′ + 13y = 130을 따르며 정지 상태에서 출발합니다: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(0.25)을(를) 구하시오. 각도는 라디안.

y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3용액

1.적분

답: I = 0.1436

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

원시함수

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

극한

(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436

답

I = 0.1436

2.적분

답: A = 1.333

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

영점

1 − x² = 0 → x = ±1

적분하기

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

답

A = 1.333

3.수열과 급수

답: x = 2.75

계수

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4이므로 R = 1/4

반지름

R = 0.25

구간

2.75 < x < 3.25

x = 2.75

답

x = 2.75

비율 판정법은 두 끝점에서는 아무것도 알려 주지 않습니다. 따로 확인해야 합니다.

4.수열과 급수

답: |R₅| = 1.012 × 10⁻⁶

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

도함수의 한계

M = 1

라그랑주 한계

|R₅| ≤ 1·0.3⁶/6! = 1.012 × 10⁻⁶

답

|R₅| = 1.012 × 10⁻⁶

실제 오차는 더 작습니다: |f(0.3) − P₅(0.3)| = 4.334 × 10⁻⁸.

5.다변수 미적분

답: L = −572

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 값과 기울기

f(3, −2) = −421

f_x = 6x²y³ + 3x² + 4y → f_x(3, −2) = −413

f_y = 6x³y² + 4y + 4x → f_y(3, −2) = 652

접평면

z = −421 − 413(x − 3) + 652(y + 2)

z = −413x + 652y + 2122

선형 근사

L = −421 + (−413)·0.05 + 652·(−0.2) = −572

답

L = −572

정확한 값은 f = −593.010797입니다. 변화가 작으므로 평면이 가깝습니다.

6.다변수 미적분

답: D = −36

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

이계 도함수

f_xx = 18, f_yy = −2, f_xy = 0

판별식

D = 18·(−2) − 0² = −36

→ 안장점

답

D = −36

7.미분방정식

답: y(1) = 2.404

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

특성근

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

초기값으로부터 구한 상수

A + B = 4, −1A − 4B = 4

A = 6.667, B = −2.667

계산하기

y(1) = 6.667·e⁻¹ + (−2.667)·e⁻⁴ = 2.404

답

y(1) = 2.404

8.미분방정식

답: y(0.25) = 2.806

정상값과 근

y_ss = 10, r = −2 ± 3j

초기값으로부터 구한 상수

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −6.667

계산하기

y(0.25) = 10·(1 − e^−0.5(cos 0.75 + 0.6667·sin 0.75)) = 2.806

답

y(0.25) = 2.806

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