미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx를 계산하세요.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

2.적분어려움

I = ∫₀¹ x²·eˣ dx을(를) 계산하시오.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3.수열과 급수보통

Σ_k=1^∞ k!/kᵏ에 비율 판정법을 적용하시오. L = lim |a_k+1/a_k|를 구하시오.

a_k = k!/kᵏ

L =

4.수열과 급수어려움

f(x) = cos x을(를) x = 2에서 n차 매클로린 다항식으로 근사한다. 라그랑주 한계 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!과 M = 1를 써서 오차가 1 × 10⁻⁵ 미만임을 보장하는 최소 차수 n을(를) 구하시오.

f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.다변수 미적분보통

(x, y) = (−1, 1)인 점에서 z = xy² − 4x³ + 3xy의 접평면은 z = px + qy + c로 쓸 수 있다. c을(를) 구하시오.

f(x, y) = xy² − 4x³ + 3xy(a, b) = (−1, 1)

c =

6.다변수 미적분어려움

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y의 임계점을 구해 분류하고, 극소에서 f의 값 f_min을(를) 구하시오.

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 6y

f_min =

7.미분방정식보통

y(0) = 3, y′(0) = 0일 때 y″ + 8y′ + 15y = 0을(를) 푸시오. y(2)을(를) 구하시오.

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(2) =

8.미분방정식어려움

y(0) = 10, y′(0) = 0(정지 상태에서 놓음)일 때 y″ + 3y′ + 6.25y = 0을(를) 푸시오. y(0.25)을(를) 구하시오. 각도는 라디안.

y″ + 3y′ + 6.25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.25) =

3용액

1.적분

답: I = 3.75

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

치환적분

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

적분하고 대입하기

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

답

I = 3.75

2.적분

답: I = 0.7183

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

첫 번째 단계

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

두 번째 단계

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

극한

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

답

I = 0.7183

3.수열과 급수

답: L = 0.3679

연속한 항의 비

|a_k+1/a_k| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e

결론

L = 0.3679 < 1

답

L = 0.3679

L < 1이므로 급수는 수렴합니다.

4.수열과 급수

답: n = 11

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

n이 커질 때의 한계

n = 10: 5.131 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 11: 8.551 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

최소 차수

n = 11

답

n = 11

5.다변수 미적분

답: c = −3

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 값과 기울기

f(−1, 1) = 0

f_x = y² − 12x² + 3y → f_x(−1, 1) = −8

f_y = 2xy + 3x → f_y(−1, 1) = −5

접평면

z = 0 − 8(x + 1) − 5(y − 1)

z = −8x − 5y − 3

상수항

c = −3

답

c = −3

6.다변수 미적분

답: f_min = −25

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

임계점

f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 푸세요.

f_x = (3x² − 12) = 0

f_y = (2y − 6) = 0

(2, 3), (−2, 3)

이계 도함수 판정법

(2, 3): f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 24 → 극소

(−2, 3): f_xx = −12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −24 → 안장점

극값에서의 값

f(2, 3) = −25

답

f_min = −25

7.미분방정식

답: y(2) = 0.01839

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

특성근

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

초기값으로부터 구한 상수

A + B = 3, −3A − 5B = 0

A = 7.5, B = −4.5

계산하기

y(2) = 7.5·e⁻⁶ + (−4.5)·e⁻¹⁰ = 0.01839

답

y(2) = 0.01839

8.미분방정식

답: y(0.25) = 8.503

복소근

r = −1.5 ± 2j

상수

A = 10, B = 1.5·10/2 = 7.5

계산하기

y(0.25) = e^−0.375(10·cos 0.5 + 7.5·sin 0.5) = 8.503

답

y(0.25) = 8.503

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