미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

I = ∫₀² x·cos x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀² x·cos x dx

I =

2.적분어려움

포물선 y = 4 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 4 − x²

A =

3.수열과 급수보통

네 급수 중 정확히 하나가 수렴한다. 그것을 클릭하세요.

A: Σ (5/4)ᵏB: Σ k!/3ᵏC: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 2/k

1A: Σ (5/4)ᵏ
2B: Σ k!/3ᵏ
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ 2/k

4.수열과 급수어려움

f(x) = cos x의 2차 매클로린 다항식으로 f(1)을(를) 근사하시오. P₂(1)을(를) 구하시오.

f(x) = cos xn = 2x = 1

P₂(1) =

5.다변수 미적분보통

(x, y) = (−1, −1)인 점에서 z = 2x³y³ − x³ − 3y³ − xy의 접평면은 z = px + qy + c로 쓸 수 있다. c을(를) 구하시오.

f(x, y) = 2x³y³ − x³ − 3y³ − xy(a, b) = (−1, −1)

c =

6.다변수 미적분어려움

R이 고리 0.25 ≤ x² + y² ≤ 2.25일 때 극좌표를 써서 I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA를 계산하시오.

f = e^{−(x² + y²)}0.5 ≤ r ≤ 1.50 ≤ θ ≤ 2π

I =

7.미분방정식보통

6 °C의 탄산음료 캔을 냉장고에서 꺼내 24 °C인 방에 둡니다. 25분 후 온도는 19 °C입니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. 시작 후 얼마나 지나야(t) 21 °C에 도달하나요?

T₀ = 6 °CT_a = 24 °CT(25) = 19 °CT = 21 °C

t = min

8.미분방정식어려움

y(0) = 3일 때 y′ + 0.5y = 4e^−3t을(를) 푸세요. y(2)을(를) 구하세요.

y′ + 0.5y = 4e^−3ty(0) = 3

y(2) =

3용액

1.적분

답: I = 0.4024

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

원시함수

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

극한

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

답

I = 0.4024

2.적분

답: A = 10.67

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

영점

4 − x² = 0 → x = ±2

적분하기

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

답

A = 10.67

3.수열과 급수

답: C: Σ (−1)ᵏ/√k

각 급수 판정하기

A: Σ (5/4)ᵏ → r = 5/4 > 1인 등비급수: 항이 커지므로 발산합니다.

B: Σ k!/3ᵏ → 비율 판정법: L = lim (k + 1)/3 = ∞이므로 발산합니다.

C: Σ (−1)ᵏ/√k → 교대급수이고 1/√k이 0으로 감소합니다: (조건부) 수렴합니다.

D: Σ 2/k → 조화급수(p = 1)의 상수배: 발산합니다.

답

C: Σ (−1)ᵏ/√k

답

C: Σ (−1)ᵏ/√k

4.수열과 급수

답: P₂(1) = 0.5

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

매클로린 다항식

P₂(x) = 1 − 0.5x²

대입하기

P₂(1) = 1 − 0.5 = 0.5

답

P₂(1) = 0.5

정확한 값은 f(1) = 0.540302입니다. 항을 더 많이 쓰거나 0에 더 가까운 점을 택하면 오차 0.0403023이(가) 줄어듭니다.

5.다변수 미적분

답: c = −17

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 값과 기울기

f(−1, −1) = 5

f_x = 6x²y³ − 3x² − y → f_x(−1, −1) = −8

f_y = 6x³y² − 9y² − x → f_y(−1, −1) = −14

접평면

z = 5 − 8(x + 1) − 14(y + 1)

z = −8x − 14y − 17

상수항

c = −17

답

c = −17

6.다변수 미적분

답: I = 2.116

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

극형식

I = ∫₀^2π ∫_0.5^1.5 e^−r²·r dr dθ

적분하기

∫ e^−r²·r dr = [−e^−r²/2]

I = 2.116

답

I = 2.116

7.미분방정식

답: t = 34.97 min

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 상수

k = ln(-18/-5)/25 = 0.05124 min⁻¹

목표 온도까지 걸리는 시간

t = ln(-18/(−3))/0.05124 = 34.97 min

답

t = 34.97 min

8.미분방정식

답: y(2) = 1.688

적분 인자

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 4e^−2.5t

일반해

y = 4/(−2.5)·e^−3t + C·e^−0.5t = −1.6·e^−3t + C·e^−0.5t

초기 조건

3 = −1.6 + C → C = 4.6

계산하기

y(2) = −1.6·0.002479 + 4.6·0.3679 = 1.688

답

y(2) = 1.688

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2