미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

y = 0.5x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 3까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

V =

2.적분어려움

직선 y = 6x와 포물선 y = 3x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 6xy = 3x²

V =

3.수열과 급수보통

합 S = Σ_k=1³⁶ 5/(k(k + 1))을(를) 구하시오.

a_k = 5/(k(k + 1))n = 36

S =

4.수열과 급수어려움

f(x) = eˣ을(를) x = 1에서 n차 매클로린 다항식으로 근사한다. 라그랑주 한계 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!과 M = 3를 써서 오차가 1 × 10⁻⁵ 미만임을 보장하는 최소 차수 n을(를) 구하시오.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.다변수 미적분보통

f(x, y) = 2x²e^0.5y일 때 P(0.5, 0)에서 Q(−2.5, 1) 방향으로의 방향 도함수 D_uf을(를) 구하시오.

f(x, y) = 2x²e^0.5yP = (0.5, 0)Q = (−2.5, 1)

D_uf =

6.다변수 미적분어려움

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 2y의 임계점을 구해 분류하고, 극소에서 f의 값 f_min을(를) 구하시오.

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 2y

f_min =

7.미분방정식보통

360 °C의 단조 강철 부품을 23 °C인 작업장에서 식힙니다. 23분 후 온도는 236 °C입니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. 시작 후 얼마나 지나야(t) 298 °C에 도달하나요?

T₀ = 360 °CT_a = 23 °CT(23) = 236 °CT = 298 °C

t = min

8.미분방정식어려움

시스템이 t ≥ 0에서 y″ + 4y′ + 20y = 40을 따르며 정지 상태에서 출발합니다: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(1)을(를) 구하시오. 각도는 라디안.

y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3용액

1.적분

답: V = 7.069

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀³ 0.25x² dx

적분하기

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

답

V = 7.069

확인: 반지름 1.5, 높이 3인 원뿔은 (1/3)πr²h = 7.069입니다.

2.적분

답: V = 120.6

교점

6x = 3x² → x = 0, x = 2

와셔법

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

적분하기

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6

답

V = 120.6

3.수열과 급수

답: S = 4.865

부분분수 전개

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

취소

S = 5·(1 − 1/37) = 4.865

답

S = 4.865

4.수열과 급수

답: n = 8

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

n이 커질 때의 한계

n = 7: 7.44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 8: 8.267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

최소 차수

n = 8

답

n = 8

5.다변수 미적분

답: D_uf = −1.818

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 그래디언트

f_x = 4xe^0.5y → f_x(0.5, 0) = 2

f_y = x²e^0.5y → f_y(0.5, 0) = 0.25

단위 벡터

|v| = √((−3)² + 1²) = 3.162

u = (−0.9487, 0.3162)

내적

D_uf = 2·(−0.9487) + 0.25·0.3162 = −1.818

답

D_uf = −1.818

6.다변수 미적분

답: f_min = −55

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

임계점

f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 푸세요.

f_x = (3x² − 27) = 0

f_y = (2y + 2) = 0

(3, −1), (−3, −1)

이계 도함수 판정법

(3, −1): f_xx = 18, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 36 → 극소

(−3, −1): f_xx = −18, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −36 → 안장점

극값에서의 값

f(3, −1) = −55

답

f_min = −55

7.미분방정식

답: t = 10.19 min

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 상수

k = ln(337/213)/23 = 0.01995 min⁻¹

목표 온도까지 걸리는 시간

t = ln(337/275)/0.01995 = 10.19 min

답

t = 10.19 min

8.미분방정식

답: y(1) = 2.279

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

정상값과 근

y_ss = 2, r = −2 ± 4j

초기값으로부터 구한 상수

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −1

계산하기

y(1) = 2·(1 − e⁻²(cos 4 + 0.5·sin 4)) = 2.279

답

y(1) = 2.279

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