미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx를 계산하세요.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

2.적분어려움

포물선 y = 1 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 1 − x²

A =

3.수열과 급수보통

멱급수 Σ_k=1^∞ (2k)!·(x + 2)ᵏ/(k!)²은(는) x₀ = −2 주위의 구간에서 수렴한다. 그 구간의 오른쪽 끝 x을(를) 구하시오.

Σ (2k)!·(x + 2)ᵏ/(k!)²x₀ = −2

x =

4.수열과 급수어려움

f(x) = 1/x의 a = 4 근처 테일러 급수에서 (x − 4)²의 계수 c₂을(를) 구하시오.

f(x) = 1/xa = 4k = 2

c₂ =

5.다변수 미적분보통

(x, y) = (1, −1)인 점에서 z = −2x²y³ − x² − 2y³ − xy의 접평면은 z = px + qy + c로 쓸 수 있다. c을(를) 구하시오.

f(x, y) = −2x²y³ − x² − 2y³ − xy(a, b) = (1, −1)

c =

6.다변수 미적분어려움

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy의 임계점을 구해 분류하고, 극대에서 f의 값 f_max을(를) 구하시오.

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy

f_max =

7.미분방정식보통

3 °C의 탄산음료 캔을 냉장고에서 꺼내 23 °C인 방에 둡니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. k = 0.06 min⁻¹일 때 21분 후의 온도 T을(를) 구하세요.

T₀ = 3 °CT_a = 23 °Ck = 0.06 min⁻¹t = 21 min

T = °C

8.미분방정식어려움

x > 0에서 초기값 문제 y′ + y/x = 4x, y(1) = 2를 푸세요. y(2)을(를) 구하세요.

y′ + y/x = 4xy(1) = 2

y(2) =

3용액

1.적분

답: I = 156

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

치환적분

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

적분하고 대입하기

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

답

I = 156

2.적분

답: A = 1.333

영점

1 − x² = 0 → x = ±1

적분하기

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

답

A = 1.333

3.수열과 급수

답: x = −1.75

계수

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4이므로 R = 1/4

반지름

R = 0.25

구간

−2.25 < x < −1.75

x = −1.75

답

x = −1.75

비율 판정법은 두 끝점에서는 아무것도 알려 주지 않습니다. 따로 확인해야 합니다.

4.수열과 급수

답: c₂ = 0.01563

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

도함수 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 2/x³

계수

c₂ = 2/(4³·2) = 0.01563

c₂ = 0.01563

답

c₂ = 0.01563

5.다변수 미적분

답: c = −12

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 값과 기울기

f(1, −1) = 4

f_x = −4xy³ − 2x − y → f_x(1, −1) = 3

f_y = −6x²y² − 6y² − x → f_y(1, −1) = −13

접평면

z = 4 + 3(x − 1) − 13(y + 1)

z = 3x − 13y − 12

상수항

c = −12

답

c = −12

6.다변수 미적분

답: f_max = 1

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

임계점

f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 푸세요.

f_x = 3x² + 3y = 0

f_y = 3y² + 3x = 0

(0, 0), (−1, −1)

이계 도함수 판정법

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = 3, D = −9 → 안장점

(−1, −1): f_xx = −6, f_yy = −6, f_xy = 3, D = 27 → 극대

극값에서의 값

f(−1, −1) = 1

답

f_max = 1

7.미분방정식

답: T = 17.33 °C

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 법칙의 해

T(t) = 23 + (−20)·e^−0.06t

t 대입

T(21) = 23 + (−20)·0.2837 = 17.33 °C

답

T = 17.33 °C

8.미분방정식

답: y(2) = 5.667

적분 인자

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

적분하기

(x¹y)′ = 4x² → x¹y = 4x³/3 + C

초기 조건

2 = 4/3 + C → C = 0.6667

계산하기

y(2) = (4·2³/3 + 0.6667)/2¹ = 5.667

답

y(2) = 5.667

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