미적분학 2: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

다변수 미적분

편도함수: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
기울기: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
방향 도함수: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
접평면: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
이계 도함수 판정법: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
이중적분: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
극좌표: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

방법

편도함수는 다른 변수를 상수로 다루고 일변수 규칙을 쓰세요.
그래디언트 문제는 그 점에서 ∇f = (f_x, f_y)를 계산하세요. 가장 가파른 기울기에는 |∇f|를, 방향 도함수에는 단위벡터 u와의 ∇f·u를 쓰세요.
극값은 f_x = 0과 f_y = 0을 연립해서 풀고, 모든 점을 D = f_xx·f_yy − f_xy²로 분류하세요.
이중적분은 영역을 스케치하고, 안쪽 한계가 경계 곡선이 되도록 순서(원판은 극좌표)를 고르고, 안쪽부터 적분하세요.

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.적분보통

I = ∫₀³ e^0.5x dx를 계산하세요.

f(x) = e^0.5x[0, 3]

I =

2.적분어려움

포물선 y = 1 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 1 − x²

A =

3.수열과 급수보통

멱급수 Σ_k=1^∞ 5ᵏ·(x − 1)ᵏ/(k + 1)은(는) x₀ = 1 주위의 구간에서 수렴한다. 그 구간의 오른쪽 끝 x을(를) 구하시오.

Σ 5ᵏ·(x − 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = 1

x =

4.수열과 급수어려움

f(x) = ln(1 + x)을(를) x = 0.2에서 5차 매클로린 다항식으로 근사한다. M = 5! = 120으로 라그랑주 오차 한계 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!을 써서 가능한 최대 오차 |R₅|을(를) 구하시오.

f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0.2M = 120

|R₅| =

5.다변수 미적분보통

(x, y) = (−1, −1)인 점에서 z = ln(x² + 4y²)의 접평면은 z = px + qy + c로 쓸 수 있다. c을(를) 구하시오.

f(x, y) = ln(x² + 4y²)(a, b) = (−1, −1)

c =

6.다변수 미적분어려움

y = 0, x = 1, y = 2x으로 둘러싸인 삼각형 T 위에서 I = ∬_T (x) dA를 계산하시오.

f = x0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 2x

I =

7.미분방정식보통

93 °C의 커피 한 잔을 20 °C인 방에 둡니다. 11분 후 온도는 42 °C입니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. 시작 후 얼마나 지나야(t) 78 °C에 도달하나요?

T₀ = 93 °CT_a = 20 °CT(11) = 42 °CT = 78 °C

t = min

8.미분방정식어려움

탱크에 순수한 물 400 L가 들어 있습니다. 리터당 소금 0.05 kg이 든 소금물이 20 L/min으로 들어오고, 잘 섞인 용액이 같은 속도로 흘러 나갑니다. 25분 후 탱크 속 소금의 양 m은(는) 얼마인가요?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3용액

1.적분

답: I = 6.963

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

원시함수

F(x) = e^0.5x/0.5

위끝과 아래끝 대입하기

I = (e^1.5 − 1)/0.5 = (4.482 − 1)/0.5 = 6.963

답

I = 6.963

2.적분

답: A = 1.333

영점

1 − x² = 0 → x = ±1

적분하기

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

답

A = 1.333

3.수열과 급수

답: x = 1.2

계수

c_k/c_k+1 = (1/5)·(k + 2)/(k + 1) → 0.2

반지름

R = 0.2

구간

0.8 < x < 1.2

x = 1.2

답

x = 1.2

비율 판정법은 두 끝점에서는 아무것도 알려 주지 않습니다. 따로 확인해야 합니다.

4.수열과 급수

답: |R₅| = 1.067 × 10⁻⁵

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

도함수의 한계

M = 5! = 120

라그랑주 한계

|R₅| ≤ 120·0.2⁶/6! = 1.067 × 10⁻⁵

답

|R₅| = 1.067 × 10⁻⁵

실제 오차는 더 작습니다: |f(0.2) − P₅(0.2)| = 9.11 × 10⁻⁶.

5.다변수 미적분

답: c = −0.3906

그래디언트: ∇f = (f_x, f_y)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 D_uf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

그 점에서의 값과 기울기

f(−1, −1) = 1.609

f_x = 2x/(x² + 4y²) → f_x(−1, −1) = −0.4

f_y = 8y/(x² + 4y²) → f_y(−1, −1) = −1.6

접평면

z = 1.609 − 0.4(x + 1) − 1.6(y + 1)

z = −0.4x − 1.6y − 0.3906

상수항

c = −0.3906

답

c = −0.3906

6.다변수 미적분

답: I = 0.6667

임계점과 이중적분: 임계점에서는 f_x = f_y = 0입니다. D = f_xxf_yy − f_xy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 f_xx > 0이면 극소, D > 0이고 f_xx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).

극한

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x

안쪽 적분

∫₀^2x (x) dy = x·2x = 2x²

바깥쪽 적분

I = 2·1³/3 = 0.6667

답

I = 0.6667

7.미분방정식

답: t = 2.11 min

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 상수

k = ln(73/22)/11 = 0.109 min⁻¹

목표 온도까지 걸리는 시간

t = ln(73/58)/0.109 = 2.11 min

답

t = 2.11 min

8.미분방정식

답: m = 14.27 kg

방정식 세우기

dm/dt = 20·0.05 − (20/400)·m = 1 − 0.05·m

풀기

적분 인자는 e^rt/V이며, 해는 평형량 c·V에 가까워집니다.

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/20

t 대입

m(25) = 20 + (−20)·0.2865 = 14.27 kg

답

m = 14.27 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2