CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

한 부동산은 내년에 순임대료 €2 000을(를) 벌 것으로 예상된다. 임대료는 매년 1.5%씩 영구히 증가할 것으로 예상된다. 요구 수익률은 연 3.5%이다. 이 부동산의 오늘 가치 PV을(를) 구하시오.

C₁ = €2 000g = 1.5%r = 3.5%

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

12년 동안 매달 말에 €150을 저축합니다. 계좌 이율은 연 4.8%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €1504.8% / 12N = 144

FV = €

3.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €400 000이(가) 든다. 첫해 말 €47 000을(를) 창출하고, 이후 현금흐름은 매년 2%씩 영구히 증가한다. 자본 비용은 11%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €400 000CF₁ = €47 000g = 2%r = 11%

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

프로젝트 A는 €30 000이(가) 들고 1~3년 차 말에 €17 000, €11 500, €6 500을(를) 돌려준다. 프로젝트 B는 €35 000이(가) 들고 €10 000, €13 500, €18 000을(를) 돌려준다. 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 교차 수익률 r*을(를) 퍼센트로 구하시오.

A: −30 000, 17 000, 11 500, 6 500B: −35 000, 10 000, 13 500, 18 000

r* = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 4%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 7년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 3%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 4%YTM = 3%n = 7

P = €

6.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 4%(연 복리), 매콜리 듀레이션 7.9년으로 €1 075에 거래된다. 수익률이 150bp 오를 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €1 075y = 4%D = 7.9Δy = +150 bp

P = €

7.CAPM과 WACC보통

베타가 1.25인 주식의 요구 수익률은 10.38%이다. 무위험 이자율은 3.5%이다. CAPM이 암시하는 기대 시장 수익률 r_m은(는) 얼마인가?

β = 1.25r_e = 10.38%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사의 주식 4 000 000주가 €35.00에 거래되며, 자기자본의 장부가치는 €42 000 000이다. 방금 주당 €2.20의 배당을 지급했고 배당은 매년 5%씩 성장한다. 부채의 시장가치는 €70 000 000, 세전 비용은 5%이다. 세율은 21%이다. 자기자본 비용에 배당 성장 모형을 써서 WACC를 구하시오.

N = 4 000 000P₀ = €35.00장부상 자기자본 = €42 000 000D₀ = €2.20g = 5%D = €70 000 000r_d = 5%T = 21%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 45, 10, 47, 53, 24.

n = 5

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 88.75보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 15x = 88.75

P =

11.확률보통

10명 중에서 3명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 10k = 3

N =

12.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 5X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.2, 0.3Y = 5X + 20

σ_Y =

13.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.6368이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6368

z =

14.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 30%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

15.신뢰구간보통

항목 9개의 표본 평균은 18, 표준편차는 s = 12.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 9x̄ = 18s = 12.599%t(8) = 3.355

E =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 17입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 17E = 195%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 494.5, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 494.5s = 10n = 16

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 50.9입니다. 모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 50.9σ = 5n = 4999%

U =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 51을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 51

x =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 100000 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

성장형 영구 연금

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.035 − 0.015) = 2 000/0.02 = €100 000.00

답

PV = €100 000.00

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 29132 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·12 = 144

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.777 − 1)/0.004 = €29 132.47

답

FV = €29 132.47

직접 넣은 돈은 €21 600이고 나머지는 이자입니다.

3.NPV와 IRR

답: NPV = 122222 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

현금흐름의 가치

PV = 47 000/(0.11 − 0.02) = 522 222.22

NPV

NPV = 522 222.22 − 400 000 = €122 222.22

답

NPV = €122 222.22

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

4.NPV와 IRR

답: r* = 5.322 %

교차 수익률: 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 할인율입니다. 이는 두 현금흐름의 차이(B − A)의 IRR입니다. 그보다 낮으면 현금흐름이 늦고 큰 프로젝트의 NPV가 더 크고, 그보다 높으면 다른 프로젝트가 낫습니다.

현금흐름의 차이

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 10 000 − 17 000 = −7 000

ΔCF₂ = 13 500 − 11 500 = 2 000

ΔCF₃ = 18 000 − 6 500 = 11 500

차이의 IRR

NPV_Δ(5%) = 81.52

NPV_Δ(6%) = −168.16

r* = 5.322%

답

r* = 5.322%

검산: 5.322%에서 두 NPV는 모두 €2 071.75입니다.

5.채권 가격과 수익률

답: P = 1063 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €20.00, i = 0.015, N = 14

이자의 현재 가치

€20.00·(1 − 0.8118)/0.015 = €250.87

액면가의 현재 가치

€1 000·0.8118 = €811.85

가격

P = €1 062.72

답

P = €1 062.72

수익률이 표면이자율보다 낮으므로 채권은 할증 발행(액면가 초과)됩니다.

6.채권 가격과 수익률

답: P = 952.5 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 7.9/1.04 = 7.596

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −7.596·(0.015) = −11.39%

P ≈ 1075·(1 − 0.1139) = €952.51

답

P = €952.51

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

7.CAPM과 WACC

답: r_m = 9.004 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

시장 위험 프리미엄

r_m − r_f = (10.38% − 3.5%)/1.25 = 5.504%

시장 수익률

r_m = 3.5% + 5.504% = 9.004%

답

r_m = 9.004%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 9.05 %

자기자본 비용

D₁ = 2.2·1.05 = €2.31

r_e = 2.31/35 + 0.05 = 11.6%

시장가치

E = 4 000 000·€35.00 = €140 000 000

V = €210 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·11.6% + 0.3333·5%·(1 − 0.21) = 9.05%

답

WACC = 9.05%

9.기술통계

답: s = 18.1

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 179/5 = 35.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 9.2² + (−25.8)² + 11.2² + 17.2² + (−11.8)² = 1311

표준편차

s = √(1311/4) = 18.1

답

s = 18.1

10.기술통계

답: P = 0.1056

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

11.확률

답: N = 120

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

답

N = 120

12.확률

답: σ_Y = 6.021

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.5, Var(X) = 1.45, σ_X = 1.204

일차 변환

σ_Y = |5|·1.204 = 6.021

답

σ_Y = 6.021

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 5·2.5 + 20 = 32.5.

13.정규분포

답: z = −0.35

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.6368 = 0.3632

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.3632을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.35

답

z = −0.35

14.정규분포

답: x = 252.6 g

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.7

표에서 구한 z

z ≈ 0.52

원래 단위로 되돌리기

x = 250 + 0.52·5 = 252.6 g

답

x = 252.6 g

15.신뢰구간

답: E = 13.98

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 3.355

오차 한계

E = 3.355·12.5/√9 = 13.98

답

E = 13.98

16.신뢰구간

답: n = 1111

n에 대해 풀기

n = (1.96·17/1)² = 1110

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1111

답

n = 1111

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

검정통계량

t = (494.5 − 500)/2.5 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 52.74

오차 한계

E = 2.576·5/√49 = 1.84

구간 끝값

U = 50.9 + 1.84 = 52.74

답

U = 52.74

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9983

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 58/6 = 9.667

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 143.3

상관계수

r = 100/√(70·143.3) = 0.9983

답

r = 0.9983

20.선형 회귀와 상관

답: x = 2.533

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 299/5 = 59.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

회귀직선

b = 60/10 = 6

a = 59.8 − 6·4 = 35.8

ŷ = 35.8 + 6·x

x 구하기

x = (51 − 35.8)/6 = 2.533

답

x = 2.533

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