CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 19.5%, 매일 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 19.5%m = 365

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

€150 000의 주택 담보 대출을 연 2.4%, 월 복리로 20년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 3년 차 말의 상환 직후 남은 금액은 얼마인가? 대출 잔액 B을(를) 구하시오.

P = €150 0002.4% / 12N = 240k = 36

B = €

3.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €60 000이(가) 들고, 10년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €4 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 12%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C₀ = €60 000M = €4 000n = 10r = 12%

EAC = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €40 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €26 000, €20 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 000CF₂ = 20 500

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 7년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 6%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 3%YTM = 6%n = 7

P = €

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 5%인 채권이 3년 후 만기이며 €935에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 5%n = 3P = €935

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

베타가 0.8인 주식의 요구 수익률은 5.2%이다. 무위험 이자율은 2%이다. CAPM이 암시하는 기대 시장 수익률 r_m은(는) 얼마인가?

β = 0.8r_e = 5.2%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사의 자기자본 시장가치는 €8 000 000, 자기자본 비용은 11%이다. 부채는 채권 5 000개(액면가 €1 000, 연 이표 4%, 만기까지 6년)로 이루어지며 각각 €949에 거래된다. 세율은 25.8%이다. 채권의 만기 수익률을 세전 부채 비용으로 하여 WACC를 구하시오.

E = €8 000 000r_e = 11%채권: 5 000 × €949표면이자율 = 4%n = 6T = 25.8%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 33, 24, 40, 19, 19, 57, 39.

n = 7

s =

10.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 146점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 20x = 146

z =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.25, 0.35, 0.1

σ =

12.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 10입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.15, 0.1, 0.3, 0.25Y = 2X + 10

σ_Y =

13.정규분포보통

X는 평균 120 mm, 표준편차 0.3 mm인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 80 mm, 표준편차 0.4 mm인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 199.5 mm보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.5 mm

P =

14.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

15.신뢰구간보통

항목 16개의 표본 평균은 16.5, 표준편차는 s = 4입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 16x̄ = 16.5s = 499%t(15) = 2.947

상한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 40입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 40E = 195%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 501.2, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 501.2s = 4n = 49

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 193입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 193σ = 20n = 1695%

L =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (9, 18)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(9, 18)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 21.52 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.195/365 = 0.0005342

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.0005342)³⁶⁵ − 1 = 1.215 − 1 = 21.52%

답

EAR = 21.52%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: B = 131819 €

월 상환액

i = 0.002, N = 240

A = 150 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻²⁴⁰) = €787.57

남은 상환액의 현재 가치

아직 남은 부채는 남은 상환액으로 정확히 갚아야 합니다.

N − k = 240 − 36 = 204

B = 787.6·(1 − (1 + 0.002)⁻²⁰⁴)/0.002 = €131 819.09

답

B = €131 819.09

3.NPV와 IRR

답: EAC = 14619 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.12⁻¹⁰)/0.12 = 5.65

연간화한 구입 가격

60 000/5.65 = 10 619.05

EAC

EAC = 10 619.05 + 4 000 = €14 619.05

답

EAC = €14 619.05

4.NPV와 IRR

답: IRR = 11.12 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(10%) = 578.51

NPV(15%) = −1 890.36

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 10 + 5·578.51/(578.51 − (−1 890.36)) = 11.17%

정확한 값: NPV(11.12%) = 0 → IRR = 11.12%

답

IRR = 11.12%

5.채권 가격과 수익률

답: P = 830.6 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €15.00, i = 0.03, N = 14

이자의 현재 가치

€15.00·(1 − 0.6611)/0.03 = €169.44

액면가의 현재 가치

€1 000·0.6611 = €661.12

가격

P = €830.56

답

P = €830.56

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 7.499 %

수익률 방정식

€935 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

수치적으로 풀기

P(7%) = €947.51, P(8%) = €922.69

YTM = 7.499%

답

YTM = 7.499%

7.CAPM과 WACC

답: r_m = 6 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

시장 위험 프리미엄

r_m − r_f = (5.2% − 2%)/0.8 = 4%

시장 수익률

r_m = 2% + 4% = 6%

답

r_m = 6%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.287 %

부채 비용(YTM)

949 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5.005%

시장가치

D = 5 000·€949 = €4 745 000

V = €12 745 000, E/V = 0.6277, D/V = 0.3723

WACC

WACC = 0.6277·11% + 0.3723·5.005%·(1 − 0.258) = 8.287%

답

WACC = 8.287%

9.기술통계

답: s = 13.75

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 231/7 = 33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 0² + (−9)² + 7² + (−14)² + (−14)² + 24² + 6² = 1134

표준편차

s = √(1134/6) = 13.75

답

s = 13.75

10.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (146 − 170)/20 = −1.2

답

z = −1.2

11.확률

답: σ = 0.9937

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.3 + 2·0.25 + 3·0.35 + 4·0.1 = 2.25

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.25 + 9·0.35 + 16·0.1 = 6.05

분산

Var(X) = 6.05 − 2.25² = 0.9875

σ = √0.9875 = 0.9937

답

σ = 0.9937

12.확률

답: σ_Y = 2.958

X의 퍼짐

μ = 3.25, Var(X) = 2.188, σ_X = 1.479

일차 변환

σ_Y = |2|·1.479 = 2.958

답

σ_Y = 2.958

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·3.25 + 10 = 16.5.

13.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

표준화하기

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

14.정규분포

답: x = 45.96 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

답

x = 45.96 min

15.신뢰구간

답: 상한 = 19.45

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 15, t = 2.947

오차 한계

E = 2.947·4/√16 = 2.947

구간

16.5 ± 2.947 → [13.55, 19.45]

답

상한 = 19.45

16.신뢰구간

답: n = 6147

n에 대해 풀기

n = (1.96·40/1)² = 6147

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 6147

답

n = 6147

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

검정통계량

t = (501.2 − 500)/0.5714 = 2.1

답

t = 2.1

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 183.2

오차 한계

E = 1.96·20/√16 = 9.8

구간 끝값

L = 193 − 9.8 = 183.2

답

L = 183.2

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9917

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 84.8

결정계수

r² = −29²/(10·84.8) = 0.9917

답

r² = 0.9917

y의 변동 중 약 99.17%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: e = −4.9

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 80/5 = 16

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

회귀직선

b = 92/40 = 2.3

a = 16 − 2.3·6 = 2.2

ŷ = 2.2 + 2.3·x

예측값

ŷ = 2.2 + 2.3·9 = 22.9

잔차

e = 18 − 22.9 = −4.9

답

e = −4.9

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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