CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 22%, 분기 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 22%m = 4

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

€250 000의 대출을 25년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 4.8%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €250 0004.8% / 12N = 300

A = €

3.NPV와 IRR보통

€60 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €29 000, €18 000, €16 000, €15 000. 자본 비용은 12%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 29 000CF₂ = 18 000CF₃ = 16 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

한 프로젝트는 €10 000이(가) 들고 1년 차부터 3년 차까지 매년 말 €5 000, €4 500, €3 500을(를) 돌려준다. 현금흐름은 자본 비용 8%로 재투자할 수 있다. 수정 내부 수익률 MIRR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 8%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 500CF₃ = 3 500

MIRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 7%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 12년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 2.5%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 7%YTM = 2.5%n = 12

P = €

6.채권 가격과 수익률어려움

만기까지 17년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 6%)이 €1 113에 팔린다. 발행자는 6년 후 수의 상환 가격 €1 060에 이 채권을 상환할 수 있다. 수의 상환 수익률 YTC을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 6%P = €1 113수의 상환 가격 = €1 060수의 상환까지 6 년

YTC = %

7.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €5 000 000의 자기자본과 €2 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 10%, 세전 부채 비용은 6%, 세율은 25%입니다. WACC를 구하세요.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €48.50인 주식 4 000 000주와 개당 €1 000에 거래되는 채권 40 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 7%, 세율은 28%입니다. 주식의 베타는 1.1, 무위험 이자율은 3%, 시장 수익률은 8.5%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.1r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 55, 34, 58, 57, 27, 47, 54.

n = 7

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 36보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 20x = 36

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2

Var(X) =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.1로 €6을, 확률 0.01로 €30을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€6: p = 0.1€30: p = 0.01

E(G) = €

13.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 49에서 67 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 67

P =

14.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.04 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.신뢰구간보통

항목 16개의 표본 평균은 23.5, 표준편차는 s = 10.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 16x̄ = 23.5s = 10.595%t(15) = 2.131

상한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 20E = 0.595%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 197.8, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 197.8s = 4n = 16

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 52.2입니다. 모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 52.2σ = 8n = 6490%

L =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 45을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 45

x =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 23.88 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.22/4 = 0.055

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.055)⁴ − 1 = 1.239 − 1 = 23.88%

답

EAR = 23.88%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: A = 1432 €

월 이율과 상환 횟수

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·25 = 300

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)^−N = 0.3019

A = 250 000·0.004/(1 − 0.3019) = €1 432.49

답

A = €1 432.49

3.NPV와 IRR

답: NPV = 1164 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 29 000/1.12 = 25 892.86

CF₂/(1 + 0.12)² = 18 000/1.254 = 14 349.49

CF₃/(1 + 0.12)³ = 16 000/1.405 = 11 388.48

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 15 000/1.574 = 9 532.77

더하기

NPV = €1 163.60

답

NPV = €1 163.60

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

4.NPV와 IRR

답: MIRR = 12.38 %

수정 IRR: 모든 유입액을 재투자 수익률(보통 자본 비용)로 프로젝트 종료 시점까지 복리 계산해 최종 가치 TV를 구합니다. MIRR은 초기 투자액을 TV로 만드는 수익률입니다: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

유입액의 최종 가치

5 000·1.08² = 5 832.00

4 500·1.08¹ = 4 860.00

3 500·1.08⁰ = 3 500.00

TV = 14 192.00

MIRR

MIRR = (14 192.00/10 000)^1/3 − 1 = 12.38%

답

MIRR = 12.38%

5.채권 가격과 수익률

답: P = 1464 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €35.00, i = 0.0125, N = 24

이자의 현재 가치

€35.00·(1 − 0.7422)/0.0125 = €721.85

액면가의 현재 가치

€1 000·0.7422 = €742.20

가격

P = €1 464.05

답

P = €1 464.05

수익률이 표면이자율보다 낮으므로 채권은 할증 발행(액면가 초과)됩니다.

6.채권 가격과 수익률

답: YTC = 4.685 %

수익률 방정식

1113 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1060/(1 + y)⁶

수치적으로 풀기

y = 4%: €1 152.26

y = 5%: €1 095.53

YTC = 4.685%

답

YTC = 4.685%

만기 수익률은 4.998%입니다. 할증 채권의 투자자는 상환될 것으로 예상하므로, 더 낮은 수의 상환 수익률이 더 현실적입니다.

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.429 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·10% + 0.2857·6%·(1 − 0.25) = 8.429%

답

WACC = 8.429%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.365 %

시장가치

E = 4 000 000·€48.50 = €194 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 3% + 1.1·5.5% = 9.05%

가중치

V = €234 000 000, E/V = 0.8291, D/V = 0.1709

WACC

WACC = 0.8291·9.05% + 0.1709·7%·(1 − 0.28) = 8.365%

답

WACC = 8.365%

9.기술통계

답: s = 12.26

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 332/7 = 47.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 7.571² + (−13.43)² + 10.57² + 9.571² + (−20.43)² + (−0.4286)² + 6.571² = 901.7

표준편차

s = √(901.7/6) = 12.26

답

s = 12.26

10.기술통계

답: P = 0.8849

표준화하기

z = −1.2

표준정규분포표

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

답

P = 0.8849

11.확률

답: Var(X) = 1.26

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.2 = 1.2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.2 = 2.7

분산

Var(X) = 2.7 − 1.2² = 1.26

답

Var(X) = 1.26

12.확률

답: E(G) = −2.1 €

순 결과

G: 3 (p = 0.1), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.89)

기댓값

E(G) = 3·0.1 + 27·0.01 − 3·0.89 = −2.1 €

답

E(G) = −2.1 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: P = 0.5245

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6

z₂ = (67 − 65)/10 = 0.2

사이의 넓이

P = Φ(0.2) − Φ(−1.6) = 0.5793 − 0.0548 = 0.5245

답

P = 0.5245

14.정규분포

답: P = 0.9706

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

표준화하기

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

확률

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

답

P = 0.9706

15.신뢰구간

답: 상한 = 29.09

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 15, t = 2.131

오차 한계

E = 2.131·10.5/√16 = 5.594

구간

23.5 ± 5.594 → [17.91, 29.09]

답

상한 = 29.09

16.신뢰구간

답: n = 6147

n에 대해 풀기

n = (1.96·20/0.5)² = 6147

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 6147

답

n = 6147

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

검정통계량

t = (197.8 − 200)/1 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 50.55

오차 한계

E = 1.645·8/√64 = 1.645

구간 끝값

L = 52.2 − 1.645 = 50.55

답

L = 50.55

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9939

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 134/6 = 22.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 687.3

상관계수

r = 218/√(70·687.3) = 0.9939

답

r = 0.9939

20.선형 회귀와 상관

답: x = 11.06

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 174/6 = 29

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

회귀직선

b = 276/70 = 3.943

a = 29 − 3.943·7 = 1.4

ŷ = 1.4 + 3.943·x

x 구하기

x = (45 − 1.4)/3.943 = 11.06

답

x = 11.06

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