CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

€5 000을(를) 연 6%의 연속 복리로 투자한다. 5년 후의 가치 FV을(를) 구하시오.

PV = €5 000r = 6%t = 5

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€150 000의 대출을 20년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 4.8%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €150 0004.8% / 12N = 240

A = €

3.NPV와 IRR보통

€60 000을 투자하면 1년 차부터 3년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €25 000, €16 000, €22 000. 자본 비용은 8%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 25 000CF₂ = 16 000CF₃ = 22 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €18 000, €14 500, €10 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 14 500CF₃ = 10 000

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

만기까지 3년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 2%)을 만기 수익률이 3.5%일 때 산다. 1년 후 첫 이표를 받은 직후 만기 수익률이 2.5%일 때 판다. 보유 기간 수익률 HPR을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 2%n = 3y₀ = 3.5%y₁ = 2.5%

HPR = %

6.채권 가격과 수익률어려움

만기까지 16년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 8%)이 €1 094에 팔린다. 발행자는 6년 후 수의 상환 가격 €1 080에 이 채권을 상환할 수 있다. 수의 상환 수익률 YTC을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 8%P = €1 094수의 상환 가격 = €1 080수의 상환까지 6 년

YTC = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €4 000 000 상당의 보통주, €1 500 000 상당의 우선주, €6 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 13%, 우선주 비용은 6%, 세전 부채 비용은 5%이다. 세율은 25%이다. WACC를 구하시오.

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 6%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사 주식의 베타는 현재 부채비율 D/E 0.25에서 1.5이다. 회사는 부채비율을 1(으)로 올릴 계획이다. 세율은 28%, 무위험 이자율은 4%, 시장 위험 프리미엄은 5%이다. 변경 후의 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

β_L = 1.5D/E₁ = 0.25D/E₂ = 1T = 28%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 56, 54, 33, 28, 13, 44, 58.

n = 7

s =

10.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 75인 정규분포를 따릅니다. 545점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 75x = 545

z =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.25

σ =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.1로 €10을, 확률 0.05로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€10: p = 0.1€100: p = 0.05

E(G) = €

13.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 490에서 572 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 572

P =

14.정규분포어려움

1번 라인 제품의 질량 X와 2번 라인 제품의 질량 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 500 g, 표준편차 8 g이고 Y는 평균 490 g, 표준편차 6 g입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.신뢰구간보통

항목 9개의 표본 평균은 32.5, 표준편차는 s = 16입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 9x̄ = 32.5s = 1695%t(8) = 2.306

하한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 39입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 39E = 199%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 198.6, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 198.6s = 5n = 64

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 5입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 5E = 2.599%

n =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 6일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 6

ŷ =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 6749 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

지수

r·t = 0.06·5 = 0.3

e^0.3 = 1.35

미래 가치

FV = 5 000·1.35 = €6 749.29

답

FV = €6 749.29

2.화폐의 시간 가치

답: A = 973.4 €

월 이율과 상환 횟수

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·20 = 240

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)^−N = 0.3836

A = 150 000·0.004/(1 − 0.3836) = €973.44

답

A = €973.44

3.NPV와 IRR

답: NPV = −5670 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 25 000/1.08 = 23 148.15

CF₂/(1 + 0.08)² = 16 000/1.166 = 13 717.42

CF₃/(1 + 0.08)³ = 22 000/1.26 = 17 464.31

더하기

NPV = €−5 670.12

답

NPV = €−5 670.12

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 36.17 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(35%) = 353.86

NPV(40%) = −1 100.58

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 35 + 5·353.86/(353.86 − (−1 100.58)) = 36.22%

정확한 값: NPV(36.17%) = 0 → IRR = 36.17%

답

IRR = 36.17%

5.채권 가격과 수익률

답: HPR = 5.469 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

매입 가격

C = €20.00, i = 0.035, N = 3

€20.00·(1 − 0.9019)/0.035 + €1 000·0.9019 = €56.03 + €901.94 = €957.98

매도 가격

C = €20.00, i = 0.025, N = 2

€20.00·(1 − 0.9518)/0.025 + €1 000·0.9518 = €38.55 + €951.81 = €990.36

보유 기간 수익률

HPR = (20 + 990.36 − 957.98)/957.98 = 5.469%

답

HPR = 5.469%

6.채권 가격과 수익률

답: YTC = 7.134 %

수익률 방정식

1094 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

수치적으로 풀기

y = 7%: €1 100.97

y = 8%: €1 050.41

YTC = 7.134%

답

YTC = 7.134%

만기 수익률은 7.005%입니다. 할증 채권의 투자자는 상환될 것으로 예상하므로, 더 낮은 수의 상환 수익률이 더 현실적입니다.

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.261 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €11 500 000

E/V = 0.3478, P_s/V = 0.1304, D/V = 0.5217

WACC

WACC = 0.3478·13% + 0.1304·6% + 0.5217·5%·(1 − 0.25) = 7.261%

답

WACC = 7.261%

8.CAPM과 WACC

답: r_e = 14.93 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)이며, β_U는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

베타 언레버

β_U = 1.5/(1 + 0.72·0.25) = 1.271

새 D/E로 다시 레버

β_L = 1.271·(1 + 0.72·1) = 2.186

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 4% + 2.186·5% = 14.93%

답

r_e = 14.93%

9.기술통계

답: s = 16.88

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 286/7 = 40.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 15.14² + 13.14² + (−7.857)² + (−12.86)² + (−27.86)² + 3.143² + 17.14² = 1709

표준편차

s = √(1709/6) = 16.88

답

s = 16.88

10.기술통계

답: z = 0.6

표준화하기

z = (545 − 500)/75 = 0.6

답

z = 0.6

11.확률

답: σ = 2.124

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.2 + 2·0.2 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3.3

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.2 + 16·0.35 + 36·0.25 = 15.4

분산

Var(X) = 15.4 − 3.3² = 4.51

σ = √4.51 = 2.124

답

σ = 2.124

12.확률

답: E(G) = 4 €

순 결과

G: 8 (p = 0.1), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)

기댓값

E(G) = 8·0.1 + 98·0.05 − 2·0.85 = 4 €

답

E(G) = 4 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: P = 0.5628

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25

z₂ = (572 − 500)/40 = 1.8

사이의 넓이

P = Φ(1.8) − Φ(−0.25) = 0.9641 − 0.4013 = 0.5628

답

P = 0.5628

14.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

표준화하기

z = (0 − 10)/10 = −1

확률

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

답

P = 0.8413

15.신뢰구간

답: 하한 = 20.2

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 2.306

오차 한계

E = 2.306·16/√9 = 12.3

구간

32.5 ± 12.3 → [20.2, 44.8]

답

하한 = 20.2

16.신뢰구간

답: n = 10094

n에 대해 풀기

n = (2.576·39/1)² = 10093

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 10094

답

n = 10094

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.24

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

검정통계량

t = (198.6 − 200)/0.625 = −2.24

답

t = −2.24

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 27

n에 대해 풀기

n = (2.576·5/2.5)² = 26.54

올림하기

n = 27

답

n = 27

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.6706

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 25.2

결정계수

r² = −13²/(10·25.2) = 0.6706

답

r² = 0.6706

y의 변동 중 약 67.06%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 63.8

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 303/5 = 60.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

회귀직선

b = 128/40 = 3.2

a = 60.6 − 3.2·5 = 44.6

ŷ = 44.6 + 3.2·x

예측

ŷ = 44.6 + 3.2·6 = 63.8

답

ŷ = 63.8

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