CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

연금이 12년 동안 매년 말 €1 500을(를) 지급한다. 이자율은 연 3%이다. 연금의 현재 가치 PV을(를) 구하시오.

A = €1 500i = 3%n = 12

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€20 000을(를) 연 6%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €300을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €20 000A = €3006% / 12

N = 회 상환

3.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €250 000이(가) 든다. 첫해 말 €18 000을(를) 창출하고, 이후 현금흐름은 매년 2%씩 영구히 증가한다. 자본 비용은 10%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 2%r = 10%

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €11 500, €15 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 15 000

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

만기까지 6년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 4.5%)을 만기 수익률이 2.5%일 때 산다. 1년 후 첫 이표를 받은 직후 만기 수익률이 2%일 때 판다. 보유 기간 수익률 HPR을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 4.5%n = 6y₀ = 2.5%y₁ = 2%

HPR = %

6.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 3%(연 복리), 매콜리 듀레이션 10.4년으로 €940에 거래된다. 수익률이 75bp 내릴 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €940y = 3%D = 10.4Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €8 000 000 상당의 보통주, €1 500 000 상당의 우선주, €4 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 13%, 우선주 비용은 8%, 세전 부채 비용은 4%이다. 세율은 25.8%이다. WACC를 구하시오.

E = €8 000 000P_s = €1 500 000D = €4 000 000r_e = 13%r_p = 8%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사 주식의 베타는 현재 부채비율 D/E 0.4에서 0.9이다. 회사는 부채비율을 1(으)로 올릴 계획이다. 세율은 25%, 무위험 이자율은 1%, 시장 위험 프리미엄은 6.5%이다. 변경 후의 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

β_L = 0.9D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 31, 56, 46, 41, 23.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 75보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 20x = 75

P =

11.확률보통

공정한 주사위를 8번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 8

P =

12.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.25로 맞힙니다. 정확히 1개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.25k = 1

P =

13.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.9312이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9312

z =

14.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.05 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 29.5, 표준편차는 s = 18입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 21x̄ = 29.5s = 1899%t(20) = 2.845

E =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 40입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 40E = 395%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 493.8, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 493.8s = 10n = 25

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 90%로 검출해야 한다. 표준 편차는 9이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 90%δ = 2.5σ = 9z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 30Σy = 365Σx² = 220Σy² = 27585Σxy = 2382

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (4, 44)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(4, 44)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 14931 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 현가 계수

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7014)/0.03 = 9.954

현재 가치

PV = 1 500·9.954 = €14 931.01

답

PV = €14 931.01

2.화폐의 시간 가치

답: N = 82 회 상환

연금 공식 정리

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.005/300 = 0.6667

로그로 풀기

N = −ln(0.6667)/ln(1.005) = 81.3

정수 횟수로 올림

전액 상환 81회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 82

답

N = 82 회 상환

3.NPV와 IRR

답: NPV = −25000 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

현금흐름의 가치

PV = 18 000/(0.1 − 0.02) = 225 000.00

NPV

NPV = 225 000.00 − 250 000 = −€25 000.00

답

NPV = −€25 000.00

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 3.802 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(0%) = 1 500.00

NPV(5%) = −442.18

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 0 + 5·1 500.00/(1 500.00 − (−442.18)) = 3.862%

정확한 값: NPV(3.802%) = 0 → IRR = 3.802%

답

IRR = 3.802%

5.채권 가격과 수익률

답: HPR = 4.745 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

매입 가격

C = €45.00, i = 0.025, N = 6

€45.00·(1 − 0.8623)/0.025 + €1 000·0.8623 = €247.87 + €862.30 = €1 110.16

매도 가격

C = €45.00, i = 0.02, N = 5

€45.00·(1 − 0.9057)/0.02 + €1 000·0.9057 = €212.11 + €905.73 = €1 117.84

보유 기간 수익률

HPR = (45 + 1 117.84 − 1 110.16)/1 110.16 = 4.745%

답

HPR = 4.745%

6.채권 가격과 수익률

답: P = 1011 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 10.4/1.03 = 10.1

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −10.1·(−0.0075) = 7.573%

P ≈ 940·(1 + 0.07573) = €1 011.18

답

P = €1 011.18

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 9.472 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €13 500 000

E/V = 0.5926, P_s/V = 0.1111, D/V = 0.2963

WACC

WACC = 0.5926·13% + 0.1111·8% + 0.2963·4%·(1 − 0.258) = 9.472%

답

WACC = 9.472%

8.CAPM과 WACC

답: r_e = 8.875 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)이며, β_U는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

베타 언레버

β_U = 0.9/(1 + 0.75·0.4) = 0.6923

새 D/E로 다시 레버

β_L = 0.6923·(1 + 0.75·1) = 1.212

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1% + 1.212·6.5% = 8.875%

답

r_e = 8.875%

9.기술통계

답: s = 13.52

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 219/6 = 36.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−14.5)² + (−5.5)² + 19.5² + 9.5² + 4.5² + (−13.5)² = 913.5

표준편차

s = √(913.5/5) = 13.52

답

s = 13.52

10.기술통계

답: P = 0.8944

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

답

P = 0.8944

11.확률

답: P = 0.7674

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

답

P = 0.7674

12.확률

답: P = 0.267

이항분포 공식

P(X = 1) = 8·0.25¹·0.75⁷ = 8·0.25·0.1335 = 0.267

답

P = 0.267

13.정규분포

답: z = 1.82

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.9312)/2 = 0.9656

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9656을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.82

답

z = 1.82

14.정규분포

답: P = 0.9875

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

표준화하기

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

확률

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

답

P = 0.9875

15.신뢰구간

답: E = 11.17

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 2.845

오차 한계

E = 2.845·18/√21 = 11.17

답

E = 11.17

16.신뢰구간

답: n = 683

n에 대해 풀기

n = (1.96·40/3)² = 683

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 683

답

n = 683

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

검정통계량

t = (493.8 − 500)/2 = −3.1

답

t = −3.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 169

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 1.282)·9/2.5)² = 168.7

올림하기

n = 169

답

n = 169

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9902

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 2382 − 30·365/5 = 192

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 27585 − 365²/5 = 940

상관계수

r = 192/√(40·940) = 0.9902

답

r = 0.9902

20.선형 회귀와 상관

답: e = −2.5

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 315/5 = 63

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

회귀직선

b = 220/40 = 5.5

a = 63 − 5.5·7 = 24.5

ŷ = 24.5 + 5.5·x

예측값

ŷ = 24.5 + 5.5·4 = 46.5

잔차

e = 44 − 46.5 = −2.5

답

e = −2.5

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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