CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

€5 000을(를) 연 3%의 연속 복리로 투자한다. 15년 후의 가치 FV을(를) 구하시오.

PV = €5 000r = 3%t = 15

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€12 000을(를) 연 4.8%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €375을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €12 000A = €3754.8% / 12

N = 회 상환

3.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €40 000이(가) 든다. 7년 동안 매년 말 €7 500을(를) 창출하고, 그 후 €6 000에 팔 수 있다. 자본 비용은 6%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €40 000CF = €7 500S = €6 000n = 7r = 6%

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

€10 000의 투자가 5년 동안 매년 말 €3 500을(를) 돌려준다. 내부 수익률 IRR을(를) 퍼센트로 구하시오.

C₀ = €10 000CF = €3 500n = 5

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

만기까지 8년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 7%)을 만기 수익률이 5%일 때 산다. 1년 후 첫 이표를 받은 직후 만기 수익률이 6%일 때 판다. 보유 기간 수익률 HPR을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 7%n = 8y₀ = 5%y₁ = 6%

HPR = %

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000인 채권이 연 6%의 이표를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 5년 후 만기이다. 이 채권은 €1 044에 팔린다. 만기 수익률 YTM을(를) 연율(반기 수익률의 두 배)로, 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 6% (2×)n = 5P = €1 044

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €6 000 000 상당의 보통주, €2 000 000 상당의 우선주, €2 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 11%, 우선주 비용은 8%, 세전 부채 비용은 4%이다. 세율은 20%이다. WACC를 구하시오.

E = €6 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_p = 8%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사 사업의 무부채(자산) 베타는 1.1이다. 회사는 부채비율 D/E를 0.5(으)로 계획한다. 세율은 20%, 무위험 이자율은 2.5%, 시장 위험 프리미엄은 6%이다. 새 자본 구조에서의 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

β_U = 1.1D/E = 0.5T = 20%r_f = 2.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 37, 48, 41, 36, 54, 19, 11.

n = 7

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 112보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 12x = 112

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3

Var(X) =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.15로 €10을, 확률 0.01로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€10: p = 0.15€100: p = 0.01

E(G) = €

13.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 20.3에서 37.1 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 20.3x₂ = 37.1

P =

14.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

15.신뢰구간보통

항목 25개의 표본 평균은 85.5, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 25x̄ = 85.5s = 16.595%t(24) = 2.064

하한 =

16.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 15개의 지름의 표본 표준 편차는 8.3 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 14에서 χ² 분포의 2.5%는 5.629 아래에, 2.5%는 26.119 위에 있다.

n = 15s = 8.3 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 48.88, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 48.88s = 8n = 100

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 192.5입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 192.5σ = 15n = 3699%

U =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5, 16)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5, 16)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 7842 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

지수

r·t = 0.03·15 = 0.45

e^0.45 = 1.568

미래 가치

FV = 5 000·1.568 = €7 841.56

답

FV = €7 841.56

2.화폐의 시간 가치

답: N = 35 회 상환

연금 공식 정리

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.004/375 = 0.872

로그로 풀기

N = −ln(0.872)/ln(1.004) = 34.31

정수 횟수로 올림

전액 상환 34회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 35

답

N = 35 회 상환

3.NPV와 IRR

답: NPV = 5858 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

연간 현금흐름의 현재 가치

7 500·5.582 = 41 867.86

잔존 가치의 현재 가치

6 000/1.504 = 3 990.34

NPV

NPV = −40 000 + 41 867.86 + 3 990.34 = €5 858.20

답

NPV = €5 858.20

4.NPV와 IRR

답: IRR = 22.11 %

필요한 연금 계수

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 10 000/3 500 = 2.857

이자율 구하기

연금 계수는 이자율이 오르면 줄어듭니다. 이자율의 범위를 잡고 좁혀 가세요.

i = 22%: 2.864

i = 23%: 2.803

IRR = 22.11%

답

IRR = 22.11%

5.채권 가격과 수익률

답: HPR = −0.3047 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

매입 가격

C = €70.00, i = 0.05, N = 8

€70.00·(1 − 0.6768)/0.05 + €1 000·0.6768 = €452.42 + €676.84 = €1 129.26

매도 가격

C = €70.00, i = 0.06, N = 7

€70.00·(1 − 0.6651)/0.06 + €1 000·0.6651 = €390.77 + €665.06 = €1 055.82

보유 기간 수익률

HPR = (70 + 1 055.82 − 1 129.26)/1 129.26 = −0.3047%

답

HPR = −0.3047%

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 4.995 %

기간당

C = €30.00, N = 10

수치적으로 풀기

i = 2.497% 반기당

YTM

YTM = 2·2.497% = 4.995%

답

YTM = 4.995%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.84 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 6 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €10 000 000

E/V = 0.6, P_s/V = 0.2, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.6·11% + 0.2·8% + 0.2·4%·(1 − 0.2) = 8.84%

답

WACC = 8.84%

8.CAPM과 WACC

답: r_e = 11.74 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)이며, β_U는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

레버리지 베타

β_L = 1.1·(1 + 0.8·0.5) = 1.54

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.54·6% = 11.74%

답

r_e = 11.74%

9.기술통계

답: s = 15.29

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 246/7 = 35.14

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 1.857² + 12.86² + 5.857² + 0.8571² + 18.86² + (−16.14)² + (−24.14)² = 1403

표준편차

s = √(1403/6) = 15.29

답

s = 15.29

10.기술통계

답: P = 0.1587

표준화하기

z = 1

표준정규분포표

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

답

P = 0.1587

11.확률

답: Var(X) = 5.39

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.25 + 2·0.35 + 4·0.1 + 6·0.3 = 2.9

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.35 + 16·0.1 + 36·0.3 = 13.8

분산

Var(X) = 13.8 − 2.9² = 5.39

답

Var(X) = 5.39

12.확률

답: E(G) = 0.5 €

순 결과

G: 8 (p = 0.15), 98 (p = 0.01), −2 (p = 0.84)

기댓값

E(G) = 8·0.15 + 98·0.01 − 2·0.84 = 0.5 €

답

E(G) = 0.5 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: P = 0.7767

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (20.3 − 32)/6 = −1.95

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

사이의 넓이

P = Φ(0.85) − Φ(−1.95) = 0.8023 − 0.02559 = 0.7767

답

P = 0.7767

14.정규분포

답: x = 182.7 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm

답

x = 182.72 cm

15.신뢰구간

답: 하한 = 78.69

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 24, t = 2.064

오차 한계

E = 2.064·16.5/√25 = 6.811

구간

85.5 ± 6.811 → [78.69, 92.31]

답

하한 = 78.69

16.신뢰구간

답: σ = 6.077 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 14·8.3² = 964.5

σ²의 한계

964.5/26.119 = 36.93

964.5/5.629 = 171.3

σ의 한계

σ = √36.93 = 6.077 µm

답

σ = 6.077 µm

σ의 95% 구간: [6.077, 13.09] µm.

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

검정통계량

t = (48.88 − 50)/0.8 = −1.4

답

t = −1.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 198.9

오차 한계

E = 2.576·15/√36 = 6.44

구간 끝값

U = 192.5 + 6.44 = 198.9

답

U = 198.9

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9497

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 488/5 = 97.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1199

상관계수

r = 208/√(40·1199) = 0.9497

답

r = 0.9497

20.선형 회귀와 상관

답: e = −3.19

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 158/6 = 26.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250

회귀직선

b = 250/70 = 3.571

a = 26.33 − 3.571·7 = 1.333

ŷ = 1.333 + 3.571·x

예측값

ŷ = 1.333 + 3.571·5 = 19.19

잔차

e = 16 − 19.19 = −3.19

답

e = −3.19

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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