CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

명목 연이율 3%, 월 복리로 €12 000을 투자합니다. 7년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €12 0003% / 12n = 7

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

26년 동안 매달 말에 €500을 저축합니다. 계좌 이율은 연 5.4%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €5005.4% / 12N = 312

FV = €

3.NPV와 IRR보통

€30 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €10 000, €7 000, €12 000, €7 000. 자본 비용은 9%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 7 000CF₃ = 12 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €40 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €21 500, €29 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 500CF₂ = 29 500

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 9년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 9%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 3%YTM = 9%n = 9

P = €

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 3%인 채권이 7년 후 만기이며 €910에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 3%n = 7P = €910

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €3 000 000의 자기자본과 €6 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 13%, 세전 부채 비용은 5%, 세율은 25.8%입니다. WACC를 구하세요.

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사 주식의 베타는 현재 부채비율 D/E 0.5에서 0.9이다. 회사는 부채비율을 1.25(으)로 올릴 계획이다. 세율은 25.8%, 무위험 이자율은 2%, 시장 위험 프리미엄은 6.5%이다. 변경 후의 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

β_L = 0.9D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1.25T = 25.8%r_f = 2%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 39, 43, 14, 19, 27, 19.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 45.6점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 12x = 45.6

z =

11.확률보통

8명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 8k = 4

N =

12.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 3X + 5입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.25, 0.1Y = 3X + 5

σ_Y =

13.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 452에서 572 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 572

P =

14.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 25%가 그 아래에 있는 값 x(25 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 25%

x = 점

15.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 34, 표준편차는 s = 5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 8x̄ = 34s = 595%t(7) = 2.365

하한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 20E = 1.590%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 36명 표본의 평균 점수는 121.6, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 121.6s = 8n = 36

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 98입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 98σ = 15n = 3695%

L =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 42을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 42

x =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 14800 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·7 = 84

미래 가치

FV = 12 000·(1 + 0.0025)⁸⁴ = 12 000·1.233 = €14 800.26

답

FV = €14 800.26

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 339850 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·26 = 312

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(4.059 − 1)/0.0045 = €339 850.02

답

FV = €339 850.02

직접 넣은 돈은 €156 000이고 나머지는 이자입니다.

3.NPV와 IRR

답: NPV = −708.7 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 10 000/1.09 = 9 174.31

CF₂/(1 + 0.09)² = 7 000/1.188 = 5 891.76

CF₃/(1 + 0.09)³ = 12 000/1.295 = 9 266.20

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 7 000/1.412 = 4 958.98

더하기

NPV = €−708.75

답

NPV = €−708.75

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 16.86 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(15%) = 1 001.89

NPV(20%) = −1 597.22

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 15 + 5·1 001.89/(1 001.89 − (−1 597.22)) = 16.93%

정확한 값: NPV(16.86%) = 0 → IRR = 16.86%

답

IRR = 16.86%

5.채권 가격과 수익률

답: P = 635.2 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €15.00, i = 0.045, N = 18

이자의 현재 가치

€15.00·(1 − 0.4528)/0.045 = €182.40

액면가의 현재 가치

€1 000·0.4528 = €452.80

가격

P = €635.20

답

P = €635.20

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 4.529 %

수익률 방정식

€910 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

수치적으로 풀기

P(4%) = €939.98, P(5%) = €884.27

YTM = 4.529%

답

YTM = 4.529%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.807 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €9 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·13% + 0.6667·5%·(1 − 0.258) = 6.807%

답

WACC = 6.807%

8.CAPM과 WACC

답: r_e = 10.22 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)이며, β_U는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

베타 언레버

β_U = 0.9/(1 + 0.742·0.5) = 0.6565

새 D/E로 다시 레버

β_L = 0.6565·(1 + 0.742·1.25) = 1.265

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2% + 1.265·6.5% = 10.22%

답

r_e = 10.22%

9.기술통계

답: s = 11.81

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 161/6 = 26.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 12.17² + 16.17² + (−12.83)² + (−7.833)² + 0.1667² + (−7.833)² = 696.8

표준편차

s = √(696.8/5) = 11.81

답

s = 11.81

10.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (45.6 − 60)/12 = −1.2

답

z = −1.2

11.확률

답: N = 70

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

답

N = 70

12.확률

답: σ_Y = 2.889

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.15, Var(X) = 0.9275, σ_X = 0.9631

일차 변환

σ_Y = |3|·0.9631 = 2.889

답

σ_Y = 2.889

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 3·2.15 + 5 = 11.45.

13.정규분포

답: P = 0.849

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2

z₂ = (572 − 500)/40 = 1.8

사이의 넓이

P = Φ(1.8) − Φ(−1.2) = 0.9641 − 0.1151 = 0.849

답

P = 0.849

14.정규분포

답: x = 58.26 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

다시 x로

x = 65 + −0.6745·10 = 58.26 점

답

x = 58.26 점

15.신뢰구간

답: 하한 = 29.82

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 2.365

오차 한계

E = 2.365·5/√8 = 4.181

구간

34 ± 4.181 → [29.82, 38.18]

답

하한 = 29.82

16.신뢰구간

답: n = 482

n에 대해 풀기

n = (1.645·20/1.5)² = 481.1

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 482

답

n = 482

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

검정통계량

t = (121.6 − 120)/1.333 = 1.2

답

t = 1.2

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 93.1

오차 한계

E = 1.96·15/√36 = 4.9

구간 끝값

L = 98 − 4.9 = 93.1

답

L = 93.1

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9889

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 109/5 = 21.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 486.8

상관계수

r = 138/√(40·486.8) = 0.9889

답

r = 0.9889

20.선형 회귀와 상관

답: x = 1.516

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 256/5 = 51.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

회귀직선

b = 62/10 = 6.2

a = 51.2 − 6.2·3 = 32.6

ŷ = 32.6 + 6.2·x

x 구하기

x = (42 − 32.6)/6.2 = 1.516

답

x = 1.516

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