CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

명목 연이율 2%, 분기 복리로 €12 000을 투자합니다. 7년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €12 0002% / 4n = 7

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€150 000의 주택 담보 대출을 연 3%, 월 복리로 30년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 18년 차 말의 상환 직후 남은 금액은 얼마인가? 대출 잔액 B을(를) 구하시오.

P = €150 0003% / 12N = 360k = 216

B = €

3.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €20 000이(가) 들고 1년 차부터 5년 차까지 매년 말 €4 000, €6 000, €7 000, €6 500, €7 500을(를) 돌려준다. 자본 비용은 12%이다. 현금흐름은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정한다. 할인 회수 기간 DPB을(를) 연 단위로 구하시오.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 000CF₃ = 7 000CF₄ = 6 500CF₅ = 7 500

DPB = 년

4.NPV와 IRR어려움

프로젝트 A는 €30 000이(가) 들고 1~3년 차 말에 €17 000, €11 000, €6 500을(를) 돌려준다. 프로젝트 B는 €32 000이(가) 들고 €8 000, €13 000, €17 000을(를) 돌려준다. 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 교차 수익률 r*을(를) 퍼센트로 구하시오.

A: −30 000, 17 000, 11 000, 6 500B: −32 000, 8 000, 13 000, 17 000

r* = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 3년 후 만기이며 연 이표를 지급한다. 만기 수익률이 8%일 때 €923에 팔린다. 이표율 c을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000n = 3P = €923YTM = 8%

c = %

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 5%인 채권이 8년 후 만기이며 €1 140에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 5%n = 8P = €1 140

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €4 000 000 상당의 보통주, €500 000 상당의 우선주, €6 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 13%, 우선주 비용은 6.5%, 세전 부채 비용은 4%이다. 세율은 28%이다. WACC를 구하시오.

E = €4 000 000P_s = €500 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 6.5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사의 주식 4 000 000주가 €22.00에 거래되며, 자기자본의 장부가치는 €35 200 000이다. 방금 주당 €1.60의 배당을 지급했고 배당은 매년 2%씩 성장한다. 부채의 시장가치는 €44 000 000, 세전 비용은 6%이다. 세율은 20%이다. 자기자본 비용에 배당 성장 모형을 써서 WACC를 구하시오.

N = 4 000 000P₀ = €22.00장부상 자기자본 = €35 200 000D₀ = €1.60g = 2%D = €44 000 000r_d = 6%T = 20%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 51, 30, 23, 52, 56, 44, 50.

n = 7

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 70보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 20x = 70

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

Var(X) =

12.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 10X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.25, 0.3, 0.35Y = 10X + 20

σ_Y =

13.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 452에서 534 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 534

P =

14.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

15.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 63.5, 표준편차는 s = 9입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 11x̄ = 63.5s = 999%t(10) = 3.169

하한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 25입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 25E = 2.590%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 9명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 1.26, 차이의 표준 편차는 1.3이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 9d̄ = 1.26s_d = 1.3

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 125.4입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 125.4σ = 20n = 4995%

L =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 33Σy = 341Σx² = 199Σy² = 19643Σxy = 1941

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 22.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 22.5

ŷ =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 13798 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·7 = 28

미래 가치

FV = 12 000·(1 + 0.005)²⁸ = 12 000·1.15 = €13 798.47

답

FV = €13 798.47

2.화폐의 시간 가치

답: B = 76397 €

월 상환액

i = 0.0025, N = 360

A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁶⁰) = €632.41

남은 상환액의 현재 가치

아직 남은 부채는 남은 상환액으로 정확히 갚아야 합니다.

N − k = 360 − 216 = 144

B = 632.4·(1 − (1 + 0.0025)⁻¹⁴⁴)/0.0025 = €76 397.22

답

B = €76 397.22

3.NPV와 IRR

답: DPB = 4.595 년

회수 기간: 누적 현금흐름이 초기 투자액을 회수할 때까지의 시간입니다. 현금은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정하므로 마지막 부분은 1년의 일부가 됩니다. 단순 회수 기간은 화폐의 시간 가치를 무시하며, 할인 회수 기간은 대신 할인된 현금흐름을 씁니다.

할인 현금흐름과 누적 현금흐름

연도 1: 4 000/1.12 = 3 571.43 → Σ = 3 571.43

연도 2: 6 000/1.254 = 4 783.16 → Σ = 8 354.59

연도 3: 7 000/1.405 = 4 982.46 → Σ = 13 337.05

연도 4: 6 500/1.574 = 4 130.87 → Σ = 17 467.92

연도 5: 7 500/1.762 = 4 255.70 → Σ = 21 723.62

마지막 해의 분율

DPB = 4 + 2 532.08/4 255.70 = 4.595

답

DPB = 4.595 년

할인 회수 기간은 항상 단순 회수 기간(3.462년)보다 깁니다.

4.NPV와 IRR

답: r* = 6.525 %

교차 수익률: 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 할인율입니다. 이는 두 현금흐름의 차이(B − A)의 IRR입니다. 그보다 낮으면 현금흐름이 늦고 큰 프로젝트의 NPV가 더 크고, 그보다 높으면 다른 프로젝트가 낫습니다.

현금흐름의 차이

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 8 000 − 17 000 = −9 000

ΔCF₂ = 13 000 − 11 000 = 2 000

ΔCF₃ = 17 000 − 6 500 = 10 500

차이의 IRR

NPV_Δ(6%) = 105.43

NPV_Δ(7%) = −93.21

r* = 6.525%

답

r* = 6.525%

검산: 6.525%에서 두 NPV는 모두 €1 029.46입니다.

5.채권 가격과 수익률

답: c = 5.012 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

액면가의 현재 가치

1000·(1 + 0.08)⁻³ = €793.83

이표

C = (923 − 793.83)/2.577 = €50.12

표면 이자율

c = 50.12/1000 = 5.012%

답

c = 5.012%

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 3.005 %

수익률 방정식

€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

수치적으로 풀기

P(3%) = €1 140.39, P(4%) = €1 067.33

YTM = 3.005%

답

YTM = 3.005%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.908 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 4 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.381, P_s/V = 0.04762, D/V = 0.5714

WACC

WACC = 0.381·13% + 0.04762·6.5% + 0.5714·4%·(1 − 0.28) = 6.908%

답

WACC = 6.908%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.879 %

자기자본 비용

D₁ = 1.6·1.02 = €1.63

r_e = 1.632/22 + 0.02 = 9.418%

시장가치

E = 4 000 000·€22.00 = €88 000 000

V = €132 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·9.418% + 0.3333·6%·(1 − 0.2) = 7.879%

답

WACC = 7.879%

9.기술통계

답: s = 12.45

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 306/7 = 43.71

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 7.286² + (−13.71)² + (−20.71)² + 8.286² + 12.29² + 0.2857² + 6.286² = 929.4

표준편차

s = √(929.4/6) = 12.45

답

s = 12.45

10.기술통계

답: P = 0.9332

표준화하기

z = −1.5

표준정규분포표

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

답

P = 0.9332

11.확률

답: Var(X) = 0.7

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

분산

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

답

Var(X) = 0.7

12.확률

답: σ_Y = 9.95

X의 퍼짐

μ = 1.9, Var(X) = 0.99, σ_X = 0.995

일차 변환

σ_Y = |10|·0.995 = 9.95

답

σ_Y = 9.95

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 10·1.9 + 20 = 39.

13.정규분포

답: P = 0.6873

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2

z₂ = (534 − 500)/40 = 0.85

사이의 넓이

P = Φ(0.85) − Φ(−1.2) = 0.8023 − 0.1151 = 0.6873

답

P = 0.6873

14.정규분포

답: x = 551.3 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

다시 x로

x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h

답

x = 551.26 h

15.신뢰구간

답: 하한 = 54.9

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 3.169

오차 한계

E = 3.169·9/√11 = 8.599

구간

63.5 ± 8.599 → [54.9, 72.1]

답

하한 = 54.9

16.신뢰구간

답: n = 271

n에 대해 풀기

n = (1.645·25/2.5)² = 270.6

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 271

답

n = 271

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.908

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 1.3/√9 = 0.4333

검정통계량

t = 1.26/0.4333 = 2.908

답

t = 2.908

df = 8에서 양측 5% 임곗값은 2.306입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 119.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.96·20/√49 = 5.6

구간 끝값

L = 125.4 − 5.6 = 119.8

답

L = 119.8

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9658

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1941 − 33·341/6 = 65.5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 19643 − 341²/6 = 262.8

상관계수

r = 65.5/√(17.5·262.8) = 0.9658

답

r = 0.9658

20.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 97

평균

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 446/5 = 89.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 468

회귀직선

b = 468/90 = 5.2

a = 89.2 − 5.2·21 = −20

ŷ = −20 + 5.2·x

예측

ŷ = −20 + 5.2·22.5 = 97

답

ŷ = 97

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