CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

7년 후 €40 000이 필요합니다. 계좌 이율은 연 3.6%, 월 복리입니다. 오늘 얼마를 예금해야 할까요? 현재 가치 PV를 구하세요.

FV = €40 0003.6% / 12n = 7

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€15 000을(를) 연 5.4%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €300을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €15 000A = €3005.4% / 12

N = 회 상환

3.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €50 000이(가) 들고 5년 동안 매년 말 €13 500을(를) 돌려준다. 자본 비용은 6%이다. 현금흐름은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정한다. 할인 회수 기간 DPB을(를) 연 단위로 구하시오.

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 500CF₃ = 13 500CF₄ = 13 500CF₅ = 13 500

DPB = 년

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €20 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €9 000, €13 000, €14 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 13 000CF₃ = 14 000

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 3%의 이표를 지급하며 15년 후 만기이다. 만기 수익률이 5.5%에서 6%(으)로 바뀐다. 채권 가격은 얼마나 ΔP 변하는가?

F = €1 000표면이자율 = 3%n = 15y₁ = 5.5%y₂ = 6%

ΔP = €

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 5%인 채권이 7년 후 만기이며 €1 060에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 5%n = 7P = €1 060

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €6 000 000 상당의 보통주, €1 000 000 상당의 우선주, €5 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 14%, 우선주 비용은 8%, 세전 부채 비용은 6%이다. 세율은 20%이다. WACC를 구하시오.

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사의 주식 1 000 000주가 €16.00에 거래되며, 자기자본의 장부가치는 €8 000 000이다. 방금 주당 €1.80의 배당을 지급했고 배당은 매년 2%씩 성장한다. 부채의 시장가치는 €12 800 000, 세전 비용은 4%이다. 세율은 28%이다. 자기자본 비용에 배당 성장 모형을 써서 WACC를 구하시오.

N = 1 000 000P₀ = €16.00장부상 자기자본 = €8 000 000D₀ = €1.80g = 2%D = €12 800 000r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 11, 35, 29, 10, 26, 34.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 380보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 60x = 380

P =

11.확률보통

9명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 9k = 4

N =

12.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.2로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.2k = 4

P =

13.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9207이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9207

z =

14.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 85%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

15.신뢰구간보통

환자 11명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 8.8, 표준 편차는 2.8이다. 평균 차이에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n = 11d̄ = 8.8s_d = 2.899%t(10) = 3.169

E = mmHg

16.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 25개의 지름의 표본 표준 편차는 10.5 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 24에서 χ² 분포의 2.5%는 12.401 아래에, 2.5%는 39.364 위에 있다.

n = 25s = 10.5 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 125.1, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 125.1s = 15n = 49

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 4E = 395%

n =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 30을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 30

x =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 31102 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·7 = 84

현재 가치

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.286 = €31 101.52

답

PV = €31 101.52

2.화폐의 시간 가치

답: N = 57 회 상환

연금 공식 정리

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0045/300 = 0.775

로그로 풀기

N = −ln(0.775)/ln(1.004) = 56.77

정수 횟수로 올림

전액 상환 56회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 57

답

N = 57 회 상환

3.NPV와 IRR

답: DPB = 4.319 년

회수 기간: 누적 현금흐름이 초기 투자액을 회수할 때까지의 시간입니다. 현금은 각 연도 동안 균등하게 들어온다고 가정하므로 마지막 부분은 1년의 일부가 됩니다. 단순 회수 기간은 화폐의 시간 가치를 무시하며, 할인 회수 기간은 대신 할인된 현금흐름을 씁니다.

할인 현금흐름과 누적 현금흐름

연도 1: 13 500/1.06 = 12 735.85 → Σ = 12 735.85

연도 2: 13 500/1.124 = 12 014.95 → Σ = 24 750.80

연도 3: 13 500/1.191 = 11 334.86 → Σ = 36 085.66

연도 4: 13 500/1.262 = 10 693.26 → Σ = 46 778.93

연도 5: 13 500/1.338 = 10 087.99 → Σ = 56 866.91

마지막 해의 분율

DPB = 4 + 3 221.07/10 087.99 = 4.319

답

DPB = 4.319 년

할인 회수 기간은 항상 단순 회수 기간(3.704년)보다 깁니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 33.23 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(30%) = 987.71

NPV(35%) = −510.08

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 30 + 5·987.71/(987.71 − (−510.08)) = 33.3%

정확한 값: NPV(33.23%) = 0 → IRR = 33.23%

답

IRR = 33.23%

5.채권 가격과 수익률

답: ΔP = −40.43 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

이전 수익률에서의 가격

C = €30.00, i = 0.055, N = 15

€30.00·(1 − 0.4479)/0.055 + €1 000·0.4479 = €301.13 + €447.93 = €749.06

새 수익률에서의 가격

C = €30.00, i = 0.06, N = 15

€30.00·(1 − 0.4173)/0.06 + €1 000·0.4173 = €291.37 + €417.27 = €708.63

변화

ΔP = 708.63 − 749.06 = −€40.43

답

ΔP = −€40.43

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 4 %

수익률 방정식

€1 060 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

수치적으로 풀기

P(4%) = €1 060.02, P(5%) = €1 000.00

YTM = 4%

답

YTM = 4%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 9.667 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €12 000 000

E/V = 0.5, P_s/V = 0.08333, D/V = 0.4167

WACC

WACC = 0.5·14% + 0.08333·8% + 0.4167·6%·(1 − 0.2) = 9.667%

답

WACC = 9.667%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 8.766 %

자기자본 비용

D₁ = 1.8·1.02 = €1.84

r_e = 1.836/16 + 0.02 = 13.48%

시장가치

E = 1 000 000·€16.00 = €16 000 000

V = €28 800 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·13.48% + 0.4444·4%·(1 − 0.28) = 8.766%

답

WACC = 8.766%

9.기술통계

답: s = 11.09

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 145/6 = 24.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13.17)² + 10.83² + 4.833² + (−14.17)² + 1.833² + 9.833² = 614.8

표준편차

s = √(614.8/5) = 11.09

답

s = 11.09

10.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

답

P = 0.9772

11.확률

답: N = 126

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

답

N = 126

12.확률

답: P = 0.0064

이항분포 공식

P(X = 4) = 5·0.2⁴·0.8¹ = 5·0.0016·0.8 = 0.0064

답

P = 0.0064

13.정규분포

답: z = −1.41

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.9207 = 0.0793

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.0793을 찾아 z를 읽으세요.

z = −1.41

답

z = −1.41

14.정규분포

답: x = 185.3 cm

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.85

표에서 구한 z

z ≈ 1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm

답

x = 185.3 cm

15.신뢰구간

답: E = 2.675 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 10, t = 3.169

오차 한계

E = 3.169·2.8/√11 = 2.675

답

E = 2.675 mmHg

16.신뢰구간

답: σ = 14.61 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 24·10.5² = 2646

σ²의 한계

2646/39.364 = 67.22

2646/12.401 = 213.4

σ의 한계

σ = √213.4 = 14.61 µm

답

σ = 14.61 µm

σ의 95% 구간: [8.199, 14.61] µm.

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.38

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

검정통계량

t = (125.1 − 120)/2.143 = 2.38

답

t = 2.38

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 7

n에 대해 풀기

n = (1.96·4/3)² = 6.83

올림하기

n = 7

답

n = 7

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9646

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 306/6 = 51

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 418

결정계수

r² = 84²/(17.5·418) = 0.9646

답

r² = 0.9646

y의 변동 중 약 96.46%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: x = 8.897

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 108/5 = 21.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

회귀직선

b = 116/40 = 2.9

a = 21.6 − 2.9·6 = 4.2

ŷ = 4.2 + 2.9·x

x 구하기

x = (30 − 4.2)/2.9 = 8.897

답

x = 8.897

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