CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 25%, 매일 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 25%m = 365

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

14년 동안 매년 초에 €3 000을(를) 예금하며, 첫 예금은 오늘이다. 계좌의 이자율은 연 3%이다. 14년 차 말 계좌에는 얼마가 있는가? FV을(를) 구하시오.

A = €3 000i = 3%n = 14

FV = €

3.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €80 000이(가) 들고, 5년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €2 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 12%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C₀ = €80 000M = €2 000n = 5r = 12%

EAC = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €18 500, €18 500, €16 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 18 500CF₃ = 16 500

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

만기까지 7년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 2%)을 만기 수익률이 5%일 때 산다. 1년 후 첫 이표를 받은 직후 만기 수익률이 4%일 때 판다. 보유 기간 수익률 HPR을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 2%n = 7y₀ = 5%y₁ = 4%

HPR = %

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 6%인 채권이 6년 후 만기이며 €885에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 6%n = 6P = €885

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €2 000 000의 자기자본과 €1 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 14%, 세전 부채 비용은 5%, 세율은 25%입니다. WACC를 구하세요.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €22.50인 주식 1 000 000주와 개당 €980에 거래되는 채권 20 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 6%, 세율은 28%입니다. 주식의 베타는 1.3, 무위험 이자율은 1%, 시장 수익률은 6.5%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.3r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 28, 39, 35, 16, 45, 24.

n = 7

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 575보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 60x = 575

P =

11.확률보통

10명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 10k = 2

N =

12.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 5X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.2, 0.3, 0.05, 0.15Y = 5X + 20

σ_Y =

13.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 12개의 총 질량이 297.4 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12> 297.4 kg

P =

14.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 97.5%가 그 아래에 있는 값 x(97.5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = 점

15.신뢰구간보통

항목 12개의 표본 평균은 71.5, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 12x̄ = 71.5s = 16.590%t(11) = 1.796

상한 =

16.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 20개의 지름의 표본 표준 편차는 9.9 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 19에서 χ² 분포의 2.5%는 8.907 아래에, 2.5%는 32.852 위에 있다.

n = 20s = 9.9 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 198.8, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 198.8s = 5n = 81

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 101.1입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 101.1σ = 10n = 6499%

L =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (2, 43)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(2, 43)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 28.39 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.25/365 = 0.0006849

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.0006849)³⁶⁵ − 1 = 1.284 − 1 = 28.39%

답

EAR = 28.39%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 52797 €

보통 연금 계수

((1 + 0.03)¹⁴ − 1)/0.03 = 17.09

기초 연금

각 예금이 1년 더 오래 운용됩니다.

FV = 3 000·17.09·1.03 = €52 796.74

답

FV = €52 796.74

3.NPV와 IRR

답: EAC = 24193 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.12⁻⁵)/0.12 = 3.605

연간화한 구입 가격

80 000/3.605 = 22 192.78

EAC

EAC = 22 192.78 + 2 000 = €24 192.78

답

EAC = €24 192.78

4.NPV와 IRR

답: IRR = 51.56 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(50%) = 444.44

NPV(55%) = −933.34

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 50 + 5·444.44/(444.44 − (−933.34)) = 51.61%

정확한 값: NPV(51.56%) = 0 → IRR = 51.56%

답

IRR = 51.56%

5.채권 가격과 수익률

답: HPR = 10.74 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

매입 가격

C = €20.00, i = 0.05, N = 7

€20.00·(1 − 0.7107)/0.05 + €1 000·0.7107 = €115.73 + €710.68 = €826.41

매도 가격

C = €20.00, i = 0.04, N = 6

€20.00·(1 − 0.7903)/0.04 + €1 000·0.7903 = €104.84 + €790.31 = €895.16

보유 기간 수익률

HPR = (20 + 895.16 − 826.41)/826.41 = 10.74%

답

HPR = 10.74%

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 8.528 %

수익률 방정식

€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

수치적으로 풀기

P(8%) = €907.54, P(9%) = €865.42

YTM = 8.528%

답

YTM = 8.528%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 10.58 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·5%·(1 − 0.25) = 10.58%

답

WACC = 10.58%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.367 %

시장가치

E = 1 000 000·€22.50 = €22 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1% + 1.3·5.5% = 8.15%

가중치

V = €42 100 000, E/V = 0.5344, D/V = 0.4656

WACC

WACC = 0.5344·8.15% + 0.4656·6%·(1 − 0.28) = 6.367%

답

WACC = 6.367%

9.기술통계

답: s = 10.25

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 209/7 = 29.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−7.857)² + (−1.857)² + 9.143² + 5.143² + (−13.86)² + 15.14² + (−5.857)² = 630.9

표준편차

s = √(630.9/6) = 10.25

답

s = 10.25

10.기술통계

답: P = 0.8944

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

답

P = 0.8944

11.확률

답: N = 45

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

답

N = 45

12.확률

답: σ_Y = 6.796

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.55, Var(X) = 1.848, σ_X = 1.359

일차 변환

σ_Y = |5|·1.359 = 6.796

답

σ_Y = 6.796

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 5·2.55 + 20 = 32.75.

13.정규분포

답: P = 0.9332

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 300 kg, σ_T = 0.5·√12 = 1.732 kg

표준화하기

z = (297.4 − 300)/1.732 = −1.5

확률

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

답

P = 0.9332

14.정규분포

답: x = 129.4 점

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

다시 x로

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 점

답

x = 129.4 점

15.신뢰구간

답: 상한 = 80.05

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 1.796

오차 한계

E = 1.796·16.5/√12 = 8.555

구간

71.5 ± 8.555 → [62.95, 80.05]

답

상한 = 80.05

16.신뢰구간

답: σ = 14.46 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 19·9.9² = 1862

σ²의 한계

1862/32.852 = 56.68

1862/8.907 = 209.1

σ의 한계

σ = √209.1 = 14.46 µm

답

σ = 14.46 µm

σ의 95% 구간: [7.529, 14.46] µm.

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.16

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556

검정통계량

t = (198.8 − 200)/0.5556 = −2.16

답

t = −2.16

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 97.88

오차 한계

E = 2.576·10/√64 = 3.22

구간 끝값

L = 101.1 − 3.22 = 97.88

답

L = 97.88

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9854

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 340/6 = 56.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 380

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2093

결정계수

r² = 380²/(70·2093) = 0.9854

답

r² = 0.9854

y의 변동 중 약 98.54%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: e = 3.3

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 227/5 = 45.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

회귀직선

b = 76/40 = 1.9

a = 45.4 − 1.9·5 = 35.9

ŷ = 35.9 + 1.9·x

예측값

ŷ = 35.9 + 1.9·2 = 39.7

잔차

e = 43 − 39.7 = 3.3

답

e = 3.3

점이 직선 위쪽에 있습니다.

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