CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

명목 연이율 5%, 분기 복리로 €20 000을 투자합니다. 8년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €20 0005% / 4n = 8

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

7년 동안 매달 말에 €100을 저축합니다. 계좌 이율은 연 4.2%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €1004.2% / 12N = 84

FV = €

3.NPV와 IRR보통

€60 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €15 000, €27 000, €13 000, €22 000. 자본 비용은 6%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 27 000CF₃ = 13 000CF₄ = 22 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €14 500, €13 000, €18 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 13 000CF₃ = 18 500

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 2%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 8년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 7%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 2%YTM = 7%n = 8

P = €

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 3%인 채권이 8년 후 만기이며 €935에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 3%n = 8P = €935

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사의 자기자본은 €10 000 000, 부채는 €3 000 000이다. WACC는 7.73%, 세전 부채 비용은 5%, 세율은 30%이다. 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 7.73%r_d = 5%T = 30%

r_e = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €45.50인 주식 2 500 000주와 개당 €980에 거래되는 채권 5 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 7%, 세율은 20%입니다. 주식의 베타는 0.6, 무위험 이자율은 4%, 시장 수익률은 10%입니다. WACC를 구하세요.

β = 0.6r_f = 4%r_m = 10%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 51, 16, 53, 30, 18.

n = 5

s =

10.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 26점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 12x = 26

z =

11.확률보통

주머니에 빨간 공 7개와 파란 공 5개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

7 / 5

P =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.2로 €50을, 확률 0.02로 €500을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€50: p = 0.2€500: p = 0.02

E(G) = €

13.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.3969이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.3969

z =

14.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 70%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

15.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 57.5, 표준편차는 s = 19.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 21x̄ = 57.5s = 19.599%t(20) = 2.845

하한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 30입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 30E = 2.599%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 197.8, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 197.8s = 10n = 100

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 25개의 표본 평균은 493.6입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 493.6σ = 20n = 2599%

L =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 9일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 9

ŷ =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 29763 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·8 = 32

미래 가치

FV = 20 000·(1 + 0.0125)³² = 20 000·1.488 = €29 762.61

답

FV = €29 762.61

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 9746 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·7 = 84

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.341 − 1)/0.0035 = €9 745.58

답

FV = €9 745.58

직접 넣은 돈은 €8 400이고 나머지는 이자입니다.

3.NPV와 IRR

답: NPV = 6522 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 15 000/1.06 = 14 150.94

CF₂/(1 + 0.06)² = 27 000/1.124 = 24 029.90

CF₃/(1 + 0.06)³ = 13 000/1.191 = 10 915.05

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 22 000/1.262 = 17 426.06

더하기

NPV = €6 521.96

답

NPV = €6 521.96

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 36.13 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(35%) = 392.98

NPV(40%) = −1 268.22

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 35 + 5·392.98/(392.98 − (−1 268.22)) = 36.18%

정확한 값: NPV(36.13%) = 0 → IRR = 36.13%

답

IRR = 36.13%

5.채권 가격과 수익률

답: P = 697.6 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €10.00, i = 0.035, N = 16

이자의 현재 가치

€10.00·(1 − 0.5767)/0.035 = €120.94

액면가의 현재 가치

€1 000·0.5767 = €576.71

가격

P = €697.65

답

P = €697.65

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 3.964 %

수익률 방정식

€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

수치적으로 풀기

P(3%) = €1 000.00, P(4%) = €932.67

YTM = 3.964%

답

YTM = 3.964%

7.CAPM과 WACC

답: r_e = 8.999 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC의 부채 부분

0.2308·5%·(1 − 0.3) = 0.8077%

자기자본 비용

r_e = (7.73% − 0.8077%)/0.7692 = 8.999%

답

r_e = 8.999%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.517 %

시장가치

E = 2 500 000·€45.50 = €113 750 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 4% + 0.6·6% = 7.6%

가중치

V = €118 650 000, E/V = 0.9587, D/V = 0.0413

WACC

WACC = 0.9587·7.6% + 0.0413·7%·(1 − 0.2) = 7.517%

답

WACC = 7.517%

9.기술통계

답: s = 17.64

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 168/5 = 33.6

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 17.4² + (−17.6)² + 19.4² + (−3.6)² + (−15.6)² = 1245

표준편차

s = √(1245/4) = 17.64

답

s = 17.64

10.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (26 − 50)/12 = −2

답

z = −2

11.확률

답: P = 0.3182

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0.3182

답

P = 0.3182

12.확률

답: E(G) = 10 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 40 (p = 0.2), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.78)

기댓값

E(G) = 40·0.2 + 490·0.02 − 10·0.78 = 10 €

답

E(G) = 10 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: z = 0.52

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.3969)/2 = 0.6985

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.6985을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.52

답

z = 0.52

14.정규분포

답: x = 181.6 cm

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.7

표에서 구한 z

z ≈ 0.52

원래 단위로 되돌리기

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

답

x = 181.6 cm

15.신뢰구간

답: 하한 = 45.39

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 2.845

오차 한계

E = 2.845·19.5/√21 = 12.11

구간

57.5 ± 12.11 → [45.39, 69.61]

답

하한 = 45.39

16.신뢰구간

답: n = 956

n에 대해 풀기

n = (2.576·30/2.5)² = 955.6

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 956

답

n = 956

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

검정통계량

t = (197.8 − 200)/1 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 483.3

오차 한계

E = 2.576·20/√25 = 10.3

구간 끝값

L = 493.6 − 10.3 = 483.3

답

L = 483.3

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9868

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 22.8

결정계수

r² = −15²/(10·22.8) = 0.9868

답

r² = 0.9868

y의 변동 중 약 98.68%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 88.54

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 469/6 = 78.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 363

회귀직선

b = 363/70 = 5.186

a = 78.17 − 5.186·7 = 41.87

ŷ = 41.87 + 5.186·x

예측

ŷ = 41.87 + 5.186·9 = 88.54

답

ŷ = 88.54

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