CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

8년 후 €15 000이 필요합니다. 계좌 이율은 연 3%, 월 복리입니다. 오늘 얼마를 예금해야 할까요? 현재 가치 PV를 구하세요.

FV = €15 0003% / 12n = 8

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

28년 동안 매달 말에 €50을 저축합니다. 계좌 이율은 연 6%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €506% / 12N = 336

FV = €

3.NPV와 IRR보통

€60 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €13 000, €27 000, €27 000, €20 000. 자본 비용은 12%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 27 000CF₃ = 27 000CF₄ = 20 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €25 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €10 500, €15 500, €9 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 15 500CF₃ = 9 000

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 7%의 이표를 지급하며 6년 후 만기이다. 만기 수익률이 5%에서 5.5%(으)로 바뀐다. 채권 가격은 얼마나 ΔP 변하는가?

F = €1 000표면이자율 = 7%n = 6y₁ = 5%y₂ = 5.5%

ΔP = €

6.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 5%(연 복리), 매콜리 듀레이션 5년으로 €910에 거래된다. 수익률이 50bp 내릴 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €910y = 5%D = 5Δy = −50 bp

P = €

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €5 000 000 상당의 보통주, €1 000 000 상당의 우선주, €4 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 12%, 우선주 비용은 6%, 세전 부채 비용은 3%이다. 세율은 25%이다. WACC를 구하시오.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_p = 6%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €42.50인 주식 2 000 000주와 개당 €960에 거래되는 채권 5 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 7%, 세율은 20%입니다. 주식의 베타는 1.1, 무위험 이자율은 2%, 시장 수익률은 6.5%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.1r_f = 2%r_m = 6.5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 43, 36, 52, 28, 56, 22.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 125보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 20x = 125

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.15, 0.2, 0.25

σ =

12.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 9개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.4로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.4k = 3

P =

13.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 117.8 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117.8 s

P =

14.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

15.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 72, 표준편차는 s = 10.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 11x̄ = 72s = 10.595%t(10) = 2.228

하한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 23입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 23E = 599%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 48.56, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 48.56s = 8n = 25

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 100개의 표본 평균은 119입니다. 모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 119σ = 8n = 10099%

U =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 89Σx² = 55Σy² = 1645Σxy = 244

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 4.5

ŷ =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 11803 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·8 = 96

현재 가치

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.271 = €11 802.95

답

PV = €11 802.95

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 43431 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·28 = 336

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(5.343 − 1)/0.005 = €43 431.42

답

FV = €43 431.42

직접 넣은 돈은 €16 800이고 나머지는 이자입니다.

3.NPV와 IRR

답: NPV = 5060 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 13 000/1.12 = 11 607.14

CF₂/(1 + 0.12)² = 27 000/1.254 = 21 524.23

CF₃/(1 + 0.12)³ = 27 000/1.405 = 19 218.07

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 20 000/1.574 = 12 710.36

더하기

NPV = €5 059.81

답

NPV = €5 059.81

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 19.28 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(15%) = 1 768.31

NPV(20%) = −277.78

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 15 + 5·1 768.31/(1 768.31 − (−277.78)) = 19.32%

정확한 값: NPV(19.28%) = 0 → IRR = 19.28%

답

IRR = 19.28%

5.채권 가격과 수익률

답: ΔP = −26.58 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

이전 수익률에서의 가격

C = €70.00, i = 0.05, N = 6

€70.00·(1 − 0.7462)/0.05 + €1 000·0.7462 = €355.30 + €746.22 = €1 101.51

새 수익률에서의 가격

C = €70.00, i = 0.055, N = 6

€70.00·(1 − 0.7252)/0.055 + €1 000·0.7252 = €349.69 + €725.25 = €1 074.93

변화

ΔP = 1 074.93 − 1 101.51 = −€26.58

답

ΔP = −€26.58

6.채권 가격과 수익률

답: P = 931.7 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 5/1.05 = 4.762

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −4.762·(−0.005) = 2.381%

P ≈ 910·(1 + 0.02381) = €931.67

답

P = €931.67

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 7.5 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €10 000 000

E/V = 0.5, P_s/V = 0.1, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.1·6% + 0.4·3%·(1 − 0.25) = 7.5%

답

WACC = 7.5%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 6.878 %

시장가치

E = 2 000 000·€42.50 = €85 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2% + 1.1·4.5% = 6.95%

가중치

V = €89 800 000, E/V = 0.9465, D/V = 0.05345

WACC

WACC = 0.9465·6.95% + 0.05345·7%·(1 − 0.2) = 6.878%

답

WACC = 6.878%

9.기술통계

답: s = 13.35

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 237/6 = 39.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 3.5² + (−3.5)² + 12.5² + (−11.5)² + 16.5² + (−17.5)² = 891.5

표준편차

s = √(891.5/5) = 13.35

답

s = 13.35

10.기술통계

답: P = 0.1056

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

11.확률

답: σ = 1.364

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.2 + 4·0.25 = 2.2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.2 + 16·0.25 = 6.7

분산

Var(X) = 6.7 − 2.2² = 1.86

σ = √1.86 = 1.364

답

σ = 1.364

12.확률

답: P = 0.2508

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 3) = 84·0.4³·0.6⁶ = 84·0.064·0.04666 = 0.2508

답

P = 0.2508

13.정규분포

답: P = 0.02275

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (117.8 − 105)/6.403 = 2

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

답

P = 0.02275

14.정규분포

답: P = 0.8665

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

확률

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

답

P = 0.8665

15.신뢰구간

답: 하한 = 64.95

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 2.228

오차 한계

E = 2.228·10.5/√11 = 7.054

구간

72 ± 7.054 → [64.95, 79.05]

답

하한 = 64.95

16.신뢰구간

답: n = 141

n에 대해 풀기

n = (2.576·23/5)² = 140.4

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 141

답

n = 141

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.9

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

검정통계량

t = (48.56 − 50)/1.6 = −0.9

답

t = −0.9

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 121.1

오차 한계

E = 2.576·8/√100 = 2.061

구간 끝값

U = 119 + 2.061 = 121.1

답

U = 121.1

19.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9328

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 244 − 15·89/5 = −23

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1645 − 89²/5 = 60.8

상관계수

r = −23/√(10·60.8) = −0.9328

답

r = −0.9328

20.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 15

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

회귀직선

b = −24/10 = −2.4

a = 18.6 − (−2.4)·3 = 25.8

ŷ = 25.8 − 2.4·x

예측

ŷ = 25.8 + (−2.4)·4.5 = 15

답

ŷ = 15

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