CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 15%, 매일 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 15%m = 365

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

€20 000을(를) 연 4.8%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €325을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €20 000A = €3254.8% / 12

N = 회 상환

3.NPV와 IRR보통

€20 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €9 000, €10 000, €4 000, €7 000. 자본 비용은 10%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 4 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

한 프로젝트는 오늘 €50 000이(가) 든다. 현금흐름은 1년 차 말에 €5 500이고, 마지막 현금흐름인 8년 차 말까지 매년 3%씩 증가한다. 자본 비용은 12%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €50 000CF₁ = €5 500g = 3%n = 8r = 12%

NPV = €

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 11년 후 만기이며 연 이표를 지급한다. 만기 수익률이 6%일 때 €763에 팔린다. 이표율 c을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000n = 11P = €763YTM = 6%

c = %

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 5%인 채권이 7년 후 만기이며 €890에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 5%n = 7P = €890

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

베타가 1.4인 주식의 요구 수익률은 9.6%이다. 무위험 이자율은 4%이다. CAPM이 암시하는 기대 시장 수익률 r_m은(는) 얼마인가?

β = 1.4r_e = 9.6%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM과 WACC어려움

한 회사 사업의 무부채(자산) 베타는 0.7이다. 회사는 부채비율 D/E를 0.75(으)로 계획한다. 세율은 25.8%, 무위험 이자율은 1%, 시장 위험 프리미엄은 6%이다. 새 자본 구조에서의 자기자본 비용 r_e을(를) 구하시오.

β_U = 0.7D/E = 0.75T = 25.8%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 10, 21, 56, 42, 12, 16.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 620점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 60x = 620

z =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.05, 0.25, 0.15, 0.3

Var(X) =

12.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.25로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.25k = 5

P =

13.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 30 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

14.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 60%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

15.신뢰구간보통

항목 15개의 표본 평균은 88.5, 표준편차는 s = 20입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 15x̄ = 88.5s = 2090%t(14) = 1.761

상한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 25입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 25E = 1.590%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 199.4, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 199.4s = 4n = 81

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 45.5입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 45.5σ = 10n = 3690%

U =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 133Σx² = 55Σy² = 3555Σxy = 387

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (28.5, 104)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(28.5, 104)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 16.18 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.15/365 = 0.000411

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.000411)³⁶⁵ − 1 = 1.162 − 1 = 16.18%

답

EAR = 16.18%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: N = 71 회 상환

연금 공식 정리

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.004/325 = 0.7538

로그로 풀기

N = −ln(0.7538)/ln(1.004) = 70.78

정수 횟수로 올림

전액 상환 70회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 71

답

N = 71 회 상환

3.NPV와 IRR

답: NPV = 4233 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 9 000/1.1 = 8 181.82

CF₂/(1 + 0.1)² = 10 000/1.21 = 8 264.46

CF₃/(1 + 0.1)³ = 4 000/1.331 = 3 005.26

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 7 000/1.464 = 4 781.09

더하기

NPV = €4 232.63

답

NPV = €4 232.63

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

4.NPV와 IRR

답: NPV = −20155 €

성장형 연금의 현재 가치

((1.03)/(1.12))⁸ = 0.5116

PV = 5 500/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.5116) = 29 845.01

NPV

NPV = 29 845.01 − 50 000 = −€20 154.99

답

NPV = −€20 154.99

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

5.채권 가격과 수익률

답: c = 2.995 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

액면가의 현재 가치

1000·(1 + 0.06)⁻¹¹ = €526.79

이표

C = (763 − 526.79)/7.887 = €29.95

표면 이자율

c = 29.95/1000 = 2.995%

답

c = 2.995%

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 7.044 %

수익률 방정식

€890 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

수치적으로 풀기

P(7%) = €892.21, P(8%) = €843.81

YTM = 7.044%

답

YTM = 7.044%

7.CAPM과 WACC

답: r_m = 8 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

시장 위험 프리미엄

r_m − r_f = (9.6% − 4%)/1.4 = 4%

시장 수익률

r_m = 4% + 4% = 8%

답

r_m = 8%

8.CAPM과 WACC

답: r_e = 7.537 %

레버리지 베타(하마다): 부채는 자기자본의 위험을 키웁니다. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)이며, β_U는 부채가 없는 사업의 베타입니다. 베타를 다른 자본 구조로 옮기려면 먼저 언레버한 다음 새 D/E로 다시 레버하세요.

레버리지 베타

β_L = 0.7·(1 + 0.742·0.75) = 1.09

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1% + 1.09·6% = 7.537%

답

r_e = 7.537%

9.기술통계

답: s = 18.62

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 157/6 = 26.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−16.17)² + (−5.167)² + 29.83² + 15.83² + (−14.17)² + (−10.17)² = 1733

표준편차

s = √(1733/5) = 18.62

답

s = 18.62

10.기술통계

답: z = 2

표준화하기

z = (620 − 500)/60 = 2

답

z = 2

11.확률

답: Var(X) = 2.36

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.25 + 2·0.05 + 3·0.25 + 4·0.15 + 5·0.3 = 3.2

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.05 + 9·0.25 + 16·0.15 + 25·0.3 = 12.6

분산

Var(X) = 12.6 − 3.2² = 2.36

답

Var(X) = 2.36

12.확률

답: P = 0.0584

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 5) = 252·0.25⁵·0.75⁵ = 252·0.0009766·0.2373 = 0.0584

답

P = 0.0584

13.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (30 − 32)/2.5 = −0.8

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

답

P = 0.7881

14.정규분포

답: x = 251.3 g

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.6

표에서 구한 z

z ≈ 0.25

원래 단위로 되돌리기

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

답

x = 251.3 g

15.신뢰구간

답: 상한 = 97.59

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 14, t = 1.761

오차 한계

E = 1.761·20/√15 = 9.094

구간

88.5 ± 9.094 → [79.41, 97.59]

답

상한 = 97.59

16.신뢰구간

답: n = 752

n에 대해 풀기

n = (1.645·25/1.5)² = 751.7

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 752

답

n = 752

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.35

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

검정통계량

t = (199.4 − 200)/0.4444 = −1.35

답

t = −1.35

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 48.24

오차 한계

E = 1.645·10/√36 = 2.742

구간 끝값

U = 45.5 + 2.742 = 48.24

답

U = 48.24

19.선형 회귀와 상관

답: r = −0.915

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 387 − 15·133/5 = −12

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 3555 − 133²/5 = 17.2

상관계수

r = −12/√(10·17.2) = −0.915

답

r = −0.915

20.선형 회귀와 상관

답: e = −2.457

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 492/6 = 82

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 642

회귀직선

b = 642/157.5 = 4.076

a = 82 − 4.076·22.5 = −9.714

ŷ = −9.714 + 4.076·x

예측값

ŷ = −9.714 + 4.076·28.5 = 106.5

잔차

e = 104 − 106.5 = −2.457

답

e = −2.457

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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