CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 21%, 반기 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 21%m = 2

EAR = %

2.화폐의 시간 가치어려움

17년 동안 매달 말에 €150을 저축합니다. 계좌 이율은 연 4.2%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €1504.2% / 12N = 204

FV = €

3.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €60 000이(가) 든다. 5년 동안 매년 말 €14 500을(를) 창출하고, 그 후 €9 000에 팔 수 있다. 자본 비용은 6%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €60 000CF = €14 500S = €9 000n = 5r = 6%

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

한 프로젝트는 오늘 €50 000이(가) 든다. 현금흐름은 1년 차 말에 €12 500이고, 마지막 현금흐름인 4년 차 말까지 매년 3%씩 증가한다. 자본 비용은 12%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €50 000CF₁ = €12 500g = 3%n = 4r = 12%

NPV = €

5.채권 가격과 수익률보통

만기까지 8년 남은 채권(액면가 €1 000, 연 이표 4%)을 만기 수익률이 9%일 때 산다. 1년 후 첫 이표를 받은 직후 만기 수익률이 10.5%일 때 판다. 보유 기간 수익률 HPR을(를) 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 4%n = 8y₀ = 9%y₁ = 10.5%

HPR = %

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000인 채권이 연 6%의 이표를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 8년 후 만기이다. 이 채권은 €1 212에 팔린다. 만기 수익률 YTM을(를) 연율(반기 수익률의 두 배)로, 퍼센트로 구하시오.

F = €1 000표면이자율 = 6% (2×)n = 8P = €1 212

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

한 회사는 €8 000 000 상당의 보통주, €500 000 상당의 우선주, €5 000 000 상당의 부채로 자금을 조달한다. 자기자본 비용은 14%, 우선주 비용은 6%, 세전 부채 비용은 5%이다. 세율은 20%이다. WACC를 구하시오.

E = €8 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €11.00인 주식 2 000 000주와 개당 €1 050에 거래되는 채권 40 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 5%, 세율은 25%입니다. 주식의 베타는 1.1, 무위험 이자율은 1.5%, 시장 수익률은 8%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.1r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 32, 23, 35, 49, 15.

n = 5

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 140보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 15x = 140

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.35, 0.15, 0.1

σ =

12.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.5k = 3

P =

13.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 55.5에서 73 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 55.5x₂ = 73

P =

14.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

15.신뢰구간보통

항목 13개의 표본 평균은 88, 표준편차는 s = 3.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 13x̄ = 88s = 3.599%t(12) = 3.055

하한 =

16.신뢰구간어려움

모표준편차는 35입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 35E = 0.595%

n =

17.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 500이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 10로 알려져 있다. 관측값 100개의 확률 표본의 평균은 501.74이다. H₀: μ = 500 대 H₁: μ > 500을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 500σ = 10n = 100x̄ = 501.74H₁: μ > μ₀

p =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 150명 중 75명, 치료 B를 받은 환자 300명 중 177명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 177n₂ = 300

z =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 9일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 9

ŷ =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: EAR = 22.1 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.21/2 = 0.105

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.105)² − 1 = 1.221 − 1 = 22.1%

답

EAR = 22.1%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

2.화폐의 시간 가치

답: FV = 44554 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·17 = 204

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.04 − 1)/0.0035 = €44 554.26

답

FV = €44 554.26

직접 넣은 돈은 €30 600이고 나머지는 이자입니다.

3.NPV와 IRR

답: NPV = 7805 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

연간 현금흐름의 현재 가치

14 500·4.212 = 61 079.27

잔존 가치의 현재 가치

9 000/1.338 = 6 725.32

NPV

NPV = −60 000 + 61 079.27 + 6 725.32 = €7 804.60

답

NPV = €7 804.60

4.NPV와 IRR

답: NPV = −10456 €

성장형 연금의 현재 가치

((1.03)/(1.12))⁴ = 0.7153

PV = 12 500/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.7153) = 39 544.28

NPV

NPV = 39 544.28 − 50 000 = −€10 455.72

답

NPV = −€10 455.72

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

5.채권 가격과 수익률

답: HPR = 0.7516 %

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

매입 가격

C = €40.00, i = 0.09, N = 8

€40.00·(1 − 0.5019)/0.09 + €1 000·0.5019 = €221.39 + €501.87 = €723.26

매도 가격

C = €40.00, i = 0.105, N = 7

€40.00·(1 − 0.4971)/0.105 + €1 000·0.4971 = €191.57 + €497.12 = €688.70

보유 기간 수익률

HPR = (40 + 688.70 − 723.26)/723.26 = 0.7516%

답

HPR = 0.7516%

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 3 %

기간당

C = €30.00, N = 16

수치적으로 풀기

i = 1.5% 반기당

YTM

YTM = 2·1.5% = 3%

답

YTM = 3%

7.CAPM과 WACC

답: WACC = 10 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = 8 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €13 500 000

E/V = 0.5926, P_s/V = 0.03704, D/V = 0.3704

WACC

WACC = 0.5926·14% + 0.03704·6% + 0.3704·5%·(1 − 0.2) = 10%

답

WACC = 10%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 5.434 %

시장가치

E = 2 000 000·€11.00 = €22 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1.5% + 1.1·6.5% = 8.65%

가중치

V = €64 000 000, E/V = 0.3438, D/V = 0.6563

WACC

WACC = 0.3438·8.65% + 0.6563·5%·(1 − 0.25) = 5.434%

답

WACC = 5.434%

9.기술통계

답: s = 12.85

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 154/5 = 30.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 1.2² + (−7.8)² + 4.2² + 18.2² + (−15.8)² = 660.8

표준편차

s = √(660.8/4) = 12.85

답

s = 12.85

10.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

답

P = 0.02275

11.확률

답: σ = 1.166

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.15 + 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.1 = 1.8

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.1 = 4.6

분산

Var(X) = 4.6 − 1.8² = 1.36

σ = √1.36 = 1.166

답

σ = 1.166

12.확률

답: P = 0.2188

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 3) = 56·0.5³·0.5⁵ = 56·0.125·0.03125 = 0.2188

답

P = 0.2188

13.정규분포

답: P = 0.6171

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95

z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8

사이의 넓이

P = Φ(0.8) − Φ(−0.95) = 0.7881 − 0.1711 = 0.6171

답

P = 0.6171

14.정규분포

답: x = 527 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h

답

x = 526.98 h

15.신뢰구간

답: 하한 = 85.03

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 12, t = 3.055

오차 한계

E = 3.055·3.5/√13 = 2.966

구간

88 ± 2.966 → [85.03, 90.97]

답

하한 = 85.03

16.신뢰구간

답: n = 18824

n에 대해 풀기

n = (1.96·35/0.5)² = 18824

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 18824

답

n = 18824

17.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.04093

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (501.74 − 500)/1 = 1.74

꼬리 면적

Φ(1.74) = 0.9591

1 − Φ(1.74) = 0.0409

p값

p = 0.04093

답

p = 0.04093

p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −1.813

표본 비율

p̂₁ = 75/150 = 0.5

p̂₂ = 177/300 = 0.59

p̂ = 252/450 = 0.56

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.56·0.44·(1/150 + 1/300)) = 0.04964

검정통계량

z = (0.5 − 0.59)/0.04964 = −1.813

답

z = −1.813

|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

19.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9775

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 323/6 = 53.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 834.8

결정계수

r² = 119.5²/(17.5·834.8) = 0.9775

답

r² = 0.9775

y의 변동 중 약 97.75%가 직선으로 설명됩니다.

20.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 72.73

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 386/6 = 64.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294

회귀직선

b = 294/70 = 4.2

a = 64.33 − 4.2·7 = 34.93

ŷ = 34.93 + 4.2·x

예측

ŷ = 34.93 + 4.2·9 = 72.73

답

ŷ = 72.73

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