CFA Level I 계량 분석 및 채권 연습: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

€10 000을(를) 연 6%의 연속 복리로 투자한다. 3년 후의 가치 FV을(를) 구하시오.

PV = €10 000r = 6%t = 3

FV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

7년 후에 €30 000을(를) 모으고 싶다. 연 4.8%, 월 복리 계좌에 매월 말 같은 금액을 저축한다. 월 적립액 A을(를) 구하시오.

FV = €30 0004.8% / 12N = 84

A = €

3.NPV와 IRR보통

€60 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €13 000, €27 000, €27 000, €13 000. 자본 비용은 9%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 27 000CF₃ = 27 000CF₄ = 13 000

NPV = €

4.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €50 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €31 500, €22 000, €22 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 500CF₂ = 22 000CF₃ = 22 000

IRR = %

5.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 6%의 이표를 지급하며 4년 후 만기이다. 만기 수익률이 5.5%에서 4%(으)로 바뀐다. 채권 가격은 얼마나 ΔP 변하는가?

F = €1 000표면이자율 = 6%n = 4y₁ = 5.5%y₂ = 4%

ΔP = €

6.채권 가격과 수익률어려움

액면가 €1 000, 연 이자율 4%인 채권이 10년 후 만기이며 €1 180에 거래됩니다. 만기 수익률 YTM을(를) 퍼센트로 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 4%n = 10P = €1 180

YTM = %

7.CAPM과 WACC보통

베타가 1.6인 주식의 요구 수익률은 10.3%이다. 무위험 이자율은 1.5%이다. CAPM이 암시하는 기대 시장 수익률 r_m은(는) 얼마인가?

β = 1.6r_e = 10.3%r_f = 1.5%

r_m = %

8.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €8.50인 주식 5 000 000주와 개당 €980에 거래되는 채권 5 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 6%, 세율은 30%입니다. 주식의 베타는 1.1, 무위험 이자율은 2%, 시장 수익률은 9%입니다. WACC를 구하세요.

β = 1.1r_f = 2%r_m = 9%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 36, 48, 40, 48, 39, 19.

n = 6

s =

10.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 130보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 20x = 130

P =

11.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.3, 0.15, 0.35

Var(X) =

12.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.1로 €8을, 확률 0.05로 €40을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€8: p = 0.1€40: p = 0.05

E(G) = €

13.정규분포보통

볼트의 질량은 독립이며 평균 40 g, 표준편차 1.2 g인 정규분포를 따릅니다. 그중 10개의 총 질량이 396.2 g 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10< 396.2 g

P =

14.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.신뢰구간보통

항목 7개의 표본 평균은 115.5, 표준편차는 s = 7입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 7x̄ = 115.5s = 795%t(6) = 2.447

E =

16.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 10개의 지름의 표본 표준 편차는 7.4 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 9에서 χ² 분포의 2.5%는 2.7 아래에, 2.5%는 19.023 위에 있다.

n = 10s = 7.4 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

17.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 98.24, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 98.24s = 4n = 25

t =

18.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 1.590%

n =

19.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

20.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7, 46)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(7, 46)

e =

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: FV = 11972 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

지수

r·t = 0.06·3 = 0.18

e^0.18 = 1.197

미래 가치

FV = 10 000·1.197 = €11 972.17

답

FV = €11 972.17

2.화폐의 시간 가치

답: A = 301.2 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·7 = 84

적립액

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.004/(1.398 − 1) = €301.20

답

A = €301.20

3.NPV와 IRR

답: NPV = 4710 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 13 000/1.09 = 11 926.61

CF₂/(1 + 0.09)² = 27 000/1.188 = 22 725.36

CF₃/(1 + 0.09)³ = 27 000/1.295 = 20 848.95

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 13 000/1.412 = 9 209.53

더하기

NPV = €4 710.45

답

NPV = €4 710.45

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

4.NPV와 IRR

답: IRR = 25.79 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(25%) = 544.00

NPV(30%) = −2 737.82

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 25 + 5·544.00/(544.00 − (−2 737.82)) = 25.83%

정확한 값: NPV(25.79%) = 0 → IRR = 25.79%

답

IRR = 25.79%

5.채권 가격과 수익률

답: ΔP = 55.07 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

이전 수익률에서의 가격

C = €60.00, i = 0.055, N = 4

€60.00·(1 − 0.8072)/0.055 + €1 000·0.8072 = €210.31 + €807.22 = €1 017.53

새 수익률에서의 가격

C = €60.00, i = 0.04, N = 4

€60.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €217.79 + €854.80 = €1 072.60

변화

ΔP = 1 072.60 − 1 017.53 = €55.07

답

ΔP = €55.07

6.채권 가격과 수익률

답: YTM = 1.996 %

수익률 방정식

€1 180 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

수치적으로 풀기

P(1%) = €1 284.14, P(2%) = €1 179.65

YTM = 1.996%

답

YTM = 1.996%

7.CAPM과 WACC

답: r_m = 7 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

시장 위험 프리미엄

r_m − r_f = (10.3% − 1.5%)/1.6 = 5.5%

시장 수익률

r_m = 1.5% + 5.5% = 7%

답

r_m = 7%

8.CAPM과 WACC

답: WACC = 9.131 %

시장가치

E = 5 000 000·€8.50 = €42 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 2% + 1.1·7% = 9.7%

가중치

V = €47 400 000, E/V = 0.8966, D/V = 0.1034

WACC

WACC = 0.8966·9.7% + 0.1034·6%·(1 − 0.3) = 9.131%

답

WACC = 9.131%

9.기술통계

답: s = 10.67

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 230/6 = 38.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−2.333)² + 9.667² + 1.667² + 9.667² + 0.6667² + (−19.33)² = 569.3

표준편차

s = √(569.3/5) = 10.67

답

s = 10.67

10.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

답

P = 0.02275

11.확률

답: Var(X) = 1.328

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.2 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.35 = 1.65

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.35 = 4.05

분산

Var(X) = 4.05 − 1.65² = 1.328

답

Var(X) = 1.328

12.확률

답: E(G) = 0.8 €

순 결과

G: 6 (p = 0.1), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)

기댓값

E(G) = 6·0.1 + 38·0.05 − 2·0.85 = 0.8 €

답

E(G) = 0.8 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

13.정규분포

답: P = 0.1587

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 400 g, σ_T = 1.2·√10 = 3.795 g

표준화하기

z = (396.2 − 400)/3.795 = −1

확률

P = Φ(−1) = 0.1587

답

P = 0.1587

14.정규분포

답: P = 0.8849

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

확률

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

답

P = 0.8849

15.신뢰구간

답: E = 6.474

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 6, t = 2.447

오차 한계

E = 2.447·7/√7 = 6.474

답

E = 6.474

16.신뢰구간

답: σ = 5.09 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 9·7.4² = 492.8

σ²의 한계

492.8/19.023 = 25.91

492.8/2.7 = 182.5

σ의 한계

σ = √25.91 = 5.09 µm

답

σ = 5.09 µm

σ의 95% 구간: [5.09, 13.51] µm.

17.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8

검정통계량

t = (98.24 − 100)/0.8 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

18.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 482

n에 대해 풀기

n = (1.645·20/1.5)² = 481.1

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n = 482

답

n = 482

19.선형 회귀와 상관

답: r = 0.983

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 410/6 = 68.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 326

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1571

상관계수

r = 326/√(70·1571) = 0.983

답

r = 0.983

20.선형 회귀와 상관

답: e = −2.5

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 231/5 = 46.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

회귀직선

b = 92/40 = 2.3

a = 46.2 − 2.3·6 = 32.4

ŷ = 32.4 + 2.3·x

예측값

ŷ = 32.4 + 2.3·7 = 48.5

잔차

e = 46 − 48.5 = −2.5

답

e = −2.5

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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