회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−5θz

z = −5 + j7을(를) 지수 형식 r·ejθ으로 쓰시오. θ을(를) −π와 π 사이의 라디안으로 구하시오.

z = −5 + j7
θ = rad
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ + 11z² + 48z + 90 = 0의 한 근은 z₁ = −3 + j3이다. 계수는 실수이다. 실근 r을(를) 구하시오.

z₁ = −3 + j3
r =
3.교류 임피던스와 페이저보통
100 V200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
120 V200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
5.교류 전력과 역률보통
P = 9 kWQ = ?Sφ

단상 전동기가 230 V 전원에서 지상 역률 0.85로 9 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 9 kWpf = 0.85V = 230 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
230 V50 HzRs​ = 25 ΩXs​ = j20 ΩZL​ = ?

230 V(실효값), 50 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 25 + j20 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 230 V (rms)f = 50 HzZs = 25 + j20 Ω
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
C = 220 pF+−4.5 VL = 1 mHiL​

220 pF 커패시터를 6 V로 충전해 이상적인 1 mH 인덕터와 진동시킵니다. 커패시터 전압이 4.5 V인 순간에 인덕터에 저장된 에너지 WL을(를) nJ 단위로 구하시오.

C = 220 pFV0 = 6 VvC = 4.5 V
WL = nJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
VR = ?47 mHC

직렬 공진 회로가 47 mH 인덕터를 사용합니다. 대역폭이 10 kHz가 되려면 전체 직렬 저항 R은 얼마여야 합니까?

L = 47 mHBW = 10 kHz
R = Ω
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 208 VZ = 7 + j24 Ω상당

상당 임피던스가 7 + j24 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 208 VZ = 7 + j24 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 75 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
R = 68 Ωt = 0L220 mHi(t)

인덕터에 2.5 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. 전류가 0.625 A로 떨어지는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

i(0) = 2.5 AR = 68 ΩL = 220 mH
t = ms
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​10 VR1​ = 47 ΩR2​ = 20 Ωt = 0에 닫힘L220 mHi(t)

R2 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R2을(를) 단락한다. t = 5 ms에서의 인덕터 전류 i을(를) 구하시오.

Vs = 10 VR1 = 47 ΩR2 = 20 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
13.테브난·노턴보통
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAIs​5 ABab

단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.

V1 = 18 VIs = 5 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
15.보드 선도와 여유보통
vin​L = 100 mHC = 0.47 µFR = 20 Ωvout​

그림의 직렬 RLC 대역 통과 필터에서 출력은 R = 20 Ω 양단에서 취하며, L = 100 mH, C = 0.47 µF입니다. 품질 계수 Q을(를) 구하시오.

R = 20 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF
Q =
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))이다. 이득 여유 12 dB를 주는 이득 K을(를) 구하시오.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))GM = 12 dB
K =

3용액

1.복소수

답: θ = 2.191 rad

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

절댓값

r = √(25 + 49) = 8.602

라디안 단위의 편각

θ = 125.5° = 125.5·π/180 = 2.191 rad

지수 형식

z = 8.602·ej2.191

답

θ = 2.191 rad
2.복소수

답: r = −5

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

켤레 쌍

z₂ = −3 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 3²) = z² + 6z + 18

이차식 인수 분리

z³ + 11z² + 48z + 90 = (z² + 6z + 18)(z + 5)

실근

r = −5

답

r = −5

근의 합으로 검산하세요: z₁ + z₂ + r = −6 + (−5) = −11 = −(11).

3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 37.53 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (46.09)²) = 75.66 Ω

위상각

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(46.09/60) = 37.53°

답

φ = 37.53°
4.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.8123 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (108.7)²) = 147.7 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 120/147.7 = 0.8123 A

답

I = 0.8123 A
5.교류 전력과 역률

답: Q = 5.578 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.85) = 31.79°, tan φ = 0.6197

무효 전력

Q = P·tan φ = 9·0.6197 = 5.578 kvar

답

Q = 5.578 kvar
6.교류 전력과 역률

답: C = 159.2 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

ZL = Zs* = 25 − j20 Ω

정전 용량

XC = 20 Ω → C = 1/(2π·50·20) = 159.2 µF

답

C = 159.2 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: WL = 1.732 nJ

LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.

전체 에너지

½·2.2 × 10⁻¹⁰·6² = 3.96 × 10⁻⁹ J

커패시터에 남은 에너지

½·2.2 × 10⁻¹⁰·4.5² = 2.227 × 10⁻⁹ J

인덕터의 에너지

WL = 1.732 × 10⁻⁹ J = 1.732 nJ

답

WL = 1.732 nJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: R = 2953 Ω

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

직렬 대역폭

BW = R/(2πL)

저항

R = 2π·0.047·10000 = 2953 Ω

답

R = 2953 Ω
9.3상 전력

답: P = 1.454 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = VL = 208 V

상전류

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8.32 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·8.32²·7 = 1.454 kW

답

P = 1.454 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.28이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: Cph = 91.76 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0.8) = 75·0.75 = 56.25 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 19.93 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 6642/(314.2·480²) = 91.76 µF

답

Cph = 91.76 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: t = 4.485 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3.235 ms

시간에 대해 풀기

0.625 = 2.5·e−t/τ → t = τ·ln(2.5/0.625)
t = 3.235·ln(4) = 4.485 ms

답

t = 4.485 ms
12.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.1909 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.

i(0) = 10/(47 + 20) = 0.1493 A
i(∞) = 10/47 = 0.2128 A
τ = L/R = 220/47 = 4.681 ms
i(t) = 0.2128 + (0.1493 − 0.2128)·e−t/τ

주어진 시각의 전류

i(5) = 0.2128 + (−0.06351)·e−5/4.681 = 0.1909 A

답

i = 0.1909 A
13.테브난·노턴

답: Rth = 26 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​15 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 20 = 26 Ω
14.테브난·노턴

답: Vth = 75.33 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω단락R2​8 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 10 = 12.67 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + 5·2.667 = 25.33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25.33 + 5·10 = 75.33 V
15.보드 선도와 여유

답: Q = 23.06

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

공진 주파수

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7 × 10⁻⁷) = 4613 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 734.1 Hz

선택도

BW = R/L = 20/0.1 = 200 rad/s = 31.83 Hz
Q = ω₀/BW = 4613/200 = 23.06

답

Q = 23.06
16.보드 선도와 여유

답: K = 49.74

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/2)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(2·9) = 4.243 rad/s

위상 교차 주파수에서의 크기

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 81)) = K/(2·9·(2 + 9)) = K/198

필요한 이득

198/K = 1012/20 = 3.981
K = 198/3.981 = 49.74

답

K = 49.74

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