회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−51010−10−10θz

z = 12∠35°을(를) 직각 형식 a + jb로 쓰고 실수부 a을(를) 구하시오.

r = 12θ = 35°
a =
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ + 10z² + 37z + 52 = 0의 한 근은 z₁ = −3 + j2이다. 계수는 실수이다. 실근 r을(를) 구하시오.

z₁ = −3 + j2
r =
3.교류 임피던스와 페이저보통
12 V50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µFI

직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF
cos φ =
4.교류 임피던스와 페이저어려움
50 V60 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 20 ΩC = 100 µFI

저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 50 V(실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩC = 100 µF
I = A
5.교류 전력과 역률보통
240 VZ8 + j6 ΩI

임피던스 Z = 8 + j6 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
Q = var
6.교류 전력과 역률어려움
230 V60 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j3 ΩZL​ = ?

230 V(실효값), 60 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 2 + j3 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 230 V (rms)f = 60 HzZs = 2 + j3 Ω
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
C = 2.2 nF+−4.8 VL = 220 µHiL​

2.2 nF 커패시터를 24 V로 충전해 이상적인 220 µH 인덕터와 진동시킵니다. 커패시터 전압이 4.8 V인 순간에 인덕터에 저장된 에너지 WL을(를) nJ 단위로 구하시오.

C = 2.2 nFV0 = 24 VvC = 4.8 V
WL = nJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
VR = ?100 mHC

직렬 공진 회로가 100 mH 인덕터를 사용합니다. 대역폭이 2 kHz가 되려면 전체 직렬 저항 R은 얼마여야 합니까?

L = 100 mHBW = 2 kHz
R = Ω
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M7.5 kW, η = 92%cos φ = 0.86

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 7.5 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 92%, 역률은 0.86(지상)이다. 전원의 선간 전압은 480 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 7.5 kWη = 92%cos φ = 0.86VL = 480 V
IL = A
10.3상 전력어려움
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 200 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 10 kΩC100 µF+−vC​

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 400 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 9 VR1 = 6.8 kΩR2 = 10 kΩC = 100 µFt = 400 ms
vC = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​5 Vt = 0R = ?C47 µF+−vC​

타이머가 t = 0에 5 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 250 ms에 커패시터 전압이 3 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 47 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.

Vs = 5 VVth = 3 VT = 250 msC = 47 µF
R = kΩ
13.테브난·노턴보통
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩARL​12 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 12 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩRL = 12 Ω
IL = A
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAIs​6 ABRL​4 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 4 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩRL = 4 Ω
IL = A
15.보드 선도와 여유보통
vin​L = 5 mHC = 4.7 µFR = 20 Ωvout​

그림의 직렬 RLC 대역 통과 필터에서 출력은 R = 20 Ω 양단에서 취하며, L = 5 mH, C = 4.7 µF입니다. 중심(공진) 주파수 f0을(를) Hz 단위로 구하시오.

R = 20 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF
f0 = Hz
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 396/(s(s + 4)(s + 10))이다. ∠L(jω) = −180°인 위상 교차 주파수 ω180을(를) 구하시오.

L(s) = 396/(s(s + 4)(s + 10))
ω180 = rad/s

3용액

1.복소수

답: a = 9.83

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

성분

a = 12·cos(35°) = 9.83
b = 12·sin(35°) = 6.883

직각 형식

z = 9.83 + j6.883
a = 9.83

답

a = 9.83
2.복소수

답: r = −4

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

켤레 쌍

z₂ = −3 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

이차식 인수 분리

z³ + 10z² + 37z + 52 = (z² + 6z + 13)(z + 4)

실근

r = −4

답

r = −4

근의 합으로 검산하세요: z₁ + z₂ + r = −6 + (−4) = −10 = −(10).

3.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.7717

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XL = 47.12 Ω, XC = 67.73 Ω

임피던스

|Z| = √(25² + (−20.6)²) = 32.39 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 25/32.39 = 0.7717
회로가 용량성이므로 역률은 진상입니다.

답

cos φ = 0.7717
4.교류 임피던스와 페이저

답: I = 1.141 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 12.75 − j9.614 Ω

전체 임피던스

Z = 30 + 12.75 − j9.614 = 42.75 − j9.614 Ω
|Z| = √(42.75² + 9.614²) = 43.82 Ω

전류

I = V/|Z| = 50/43.82 = 1.141 A

답

I = 1.141 A
5.교류 전력과 역률

답: Q = 3456 var

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

무효 전력

Q = I²·X = 24²·6 = 3456 var

답

Q = 3456 var
6.교류 전력과 역률

답: C = 884.2 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

ZL = Zs* = 2 − j3 Ω

정전 용량

XC = 3 Ω → C = 1/(2π·60·3) = 884.2 µF

답

C = 884.2 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: WL = 608.3 nJ

LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.

전체 에너지

½·2.2 × 10⁻⁹·24² = 6.336 × 10⁻⁷ J

커패시터에 남은 에너지

½·2.2 × 10⁻⁹·4.8² = 2.534 × 10⁻⁸ J

인덕터의 에너지

WL = 6.083 × 10⁻⁷ J = 608.3 nJ

답

WL = 608.3 nJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: R = 1257 Ω

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

직렬 대역폭

BW = R/(2πL)

저항

R = 2π·0.1·2000 = 1257 Ω

답

R = 1257 Ω
9.3상 전력

답: IL = 11.4 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 7.5/0.92 = 8.152 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 8152/(√3·480·0.86) = 11.4 A

답

IL = 11.4 A
10.3상 전력

답: Cph = 719.2 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0.72) = 200·0.9639 = 192.8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.92) = 200·0.426 = 85.2 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 107.6 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 35857/(314.2·398.4²) = 719.2 µF

답

Cph = 719.2 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: vC = 3.363 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ
vC(∞) = 9·10/(6.8 + 10) = 5.357 V

시정수

τ = Rth·C = 4.048·100 = 404.8 ms

충전 곡선

vC(t) = 5.357·(1 − e−400/404.8) = 3.363 V

답

vC = 3.363 V
12.RC·RL 과도 현상

답: R = 5.805 kΩ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

필요한 시정수

3 = 5·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(5/(5 − 3))
τ = 250/0.9163 = 272.8 ms

저항

kΩ × µF는 밀리초입니다.

R = τ/C = 272.8/47 = 5.805 kΩ

답

R = 5.805 kΩ
13.테브난·노턴

답: IL = 0.1184 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​2 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 8 = 9.714 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·2/(12+2) = 2.571 V
Rth​ = 9.714 Ω+−Vth​2.571 VRL​12 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 2.571/(9.714 + 12) = 0.1184 A
14.테브난·노턴

답: IL = 5.118 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω단락R2​15 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3.158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.158 + 12 = 15.16 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.105 + 6·3.158 = 26.05 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26.05 + 6·12 = 98.05 V
Rth​ = 15.16 Ω+−Vth​98.05 VRL​4 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 98.05/(15.16 + 4) = 5.118 A
15.보드 선도와 여유

답: f0 = 1038 Hz

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

공진 주파수

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7 × 10⁻⁶) = 6523 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1038 Hz

답

f0 = 1038 Hz
16.보드 선도와 여유

답: ω180 = 6.325 rad/s

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/4)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(4·10) = 6.325 rad/s

답

ω180 = 6.325 rad/s

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