연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.
교류 임피던스와 페이저
임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z
방법
주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
교류 전력과 역률
유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC 공진, Q 인자, 대역폭
고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)
방법
먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.
3상 전력
Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η
RC·RL 과도 현상
시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ
방법
스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
테브난·노턴
테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
방법
부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.
2연습 문제
1.복소수보통
그림은 z = −3 + j3을(를) 보여 줍니다. w = 2∠−90°일 때 z·w을(를) 나타내는 점을 클릭하세요.
z = −3 + j3w = 2∠−90°
1A (3 + j3)
2B (6 + j6)
3C (−6 − j6)
4D (−6 + j6)
2.복소수어려움
n = 6, w = 64∠−90°일 때 zⁿ = w의 근은 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 5이다. z₅의 편각을 −180°와 180° 사이의 도 단위로 구하시오.
w = 64∠−90°n = 6k = 5
θ₅ = °
3.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF
P = W
4.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로를 10 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 VL을(를) 구하시오.
V = 10 V (rms)R = 10 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V
5.교류 전력과 역률보통
임피던스 Z = 3 + j4 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 피상 전력 S을(를) 구하시오.
V = 240 VZ = 3 + j4 Ω
S = VA
6.교류 전력과 역률어려움
150 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.85의 73 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 150 kVAP1 = 73 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
L = 10 mH, C = 10 nF인 이상적인 LC 회로에서 t = 0에 커패시터가 완전히 충전되어 있습니다. 모든 에너지가 인덕터에 있게 되기까지 얼마나 걸립니까? t을(를) µs 단위로 구하시오.
L = 10 mHC = 10 nF
t = µs
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
병렬 탱크 회로가 2.2 nF 커패시터와 권선 저항 2 Ω의 2.2 mH 코일로 이루어져 있습니다. 공진에서 이 회로는 저항처럼 동작하며 동적 저항은 RD = L/(C·r)입니다. RD을(를) kΩ 단위로 구하시오.
L = 2.2 mHC = 2.2 nFr = 2 Ω
RD = kΩ
9.3상 전력보통
상당 임피던스가 18 + j24 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 208 VZ = 18 + j24 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 150 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 150 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 75%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.
Vs = 10 VR = 68 ΩL = 220 mH
t = ms
12.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 4 V이다. t = 150 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 15 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 Vt = 150 ms
vC = V
13.테브난·노턴보통
단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.
V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
14.테브난·노턴어려움
노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.
V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
15.보드 선도와 여유보통
그림의 직렬 RLC 대역 통과 필터에서 출력은 R = 1 Ω 양단에서 취하며, L = 2 mH, C = 1 µF입니다. 중심(공진) 주파수 f0을(를) Hz 단위로 구하시오.
R = 1 ΩL = 2 mHC = 1 µF
f0 = Hz
16.보드 선도와 여유어려움
단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 260/(s(s + 10))이다. 위상 여유 PM을(를) 도 단위로 구하시오.
L(s) = 260/(s(s + 10))
PM = °
3용액
1.복소수
답: B (6 + j6)
극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
w의 효과
|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°
그 점
z·w = 6 + j6 → B
답
B (6 + j6)
2.복소수
답: θ₅ = −75 °
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
근의 절댓값
641/6 = 2
근의 편각
θ₅ = (−90° + 360°·5)/6 = 285° → −75°
편각
θ₅ = −75°
답
θ₅ = −75°
6개의 근이 반지름 2인 원 위에 60° 간격으로 놓입니다.
3.교류 임피던스와 페이저
답: P = 19.05 W
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = 56.55 Ω, XC = 120.6 Ω
임피던스
|Z| = √(80² + (−64.02)²) = 102.5 Ω
유효 전력
인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.
I = 50/102.5 = 0.488 A
P = I²·R = 0.488²·80 = 19.05 W
답
P = 19.05 W
4.교류 임피던스와 페이저
답: VL = 447.2 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 10/10 = 1 A
인덕터 양단의 전압
XL = ω₀L = 2236·0.2 = 447.2 Ω
VL = I·XL = 1·447.2 = 447.2 V
답
VL = 447.2 V
이는 전원 전압의 Q = 44.72배입니다.
5.교류 전력과 역률
답: S = 11520 VA
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
전류
|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 240/5 = 48 A
피상 전력
S = V·I = 240·48 = 11520 VA
답
S = 11520 VA
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 70.01 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 73·tan(arccos 0.85) = 45.24 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 45.24²) = 143 kW
추가 유효 전력
ΔP = 143 − 73 = 70.01 kW
답
ΔP = 70.01 kW
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭
답: t = 15.71 µs
LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = VL = 208 V
상전류
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 208/30 = 6.933 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·6.933²·18 = 2.596 kW
답
P = 2.596 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
10.3상 전력
답: Cph = 944.8 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.