회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−51010−10−10θz

z = 5 − j9의 편각 θ을(를) −180°와 180° 사이의 주값으로 도 단위로 구하시오.

z = 5 − j9
θ = °
2.복소수어려움
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

드무아브르의 정리를 이용해 z = 1 − j에 대한 z⁹의 실수부를 구하시오.

z = 1 − jn = 9
Re(z⁹) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
10 V100 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 4.7 µFI

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
I = A
4.교류 임피던스와 페이저어려움
5 Vf0​R = 10 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

직렬 RLC 회로를 5 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 VL을(를) 구하시오.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VL = V
5.교류 전력과 역률보통
400 V121 kW, 0.75219 kW, 1I

두 부하가 400 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.75의 21 kW 부하와 19 kW 히터(역률 1). 전원에서 본 전체 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 400 VP1 = 21 kW, pf1 = 0.75 지상P2 = 19 kW, pf2 = 1
cos φ =
6.교류 전력과 역률어려움
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 400 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 40 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 QC을(를) 구하시오.

P = 40 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
V2.2 kΩ1 mH4.7 nF

병렬 RLC 회로의 R = 2.2 kΩ, L = 1 mH, C = 4.7 nF입니다. 품질 계수 Q을(를) 구하시오.

R = 2.2 kΩL = 1 mHC = 4.7 nF
Q =
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
f|I|0.7071f0​ = ?5 kHz6.25 kHzBW

공진 곡선의 반전력 주파수가 5 kHz와 6.25 kHz입니다. 이 둘의 기하평균으로 공진 주파수를 구한 다음 품질 계수 Q을(를) 구하시오.

f1 = 5 kHzf2 = 6.25 kHz
Q =
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 400 VNZ = 20 + j15 Ω상당

상당 임피던스가 20 + j15 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 400 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 400 VZ = 20 + j15 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 75 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​15 Vt = 0R = 20 ΩL68 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 10 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

Vs = 15 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 10 ms
i = A
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​5 Vt = 0R = 4.7 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 12 V이다. vC이(가) 9.9 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 5 VR = 4.7 kΩC = 33 µFvC(0) = 12 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩARL​15 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 15 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩRL = 15 Ω
IL = A
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAIs​1 ABRL​6 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 6 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 6 VIs = 1 AR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩRL = 6 Ω
PL = W
15.보드 선도와 여유보통
|H| (dB)1101001000−60−40−2002040ω (rad/s)ω = 30

ω = 30 rad/s에서 G(s) = 3150/((s + 14)(s + 15))의 정확한 크기 |G(jω)|을(를) dB 단위로 구하시오.

G(s) = 3150/((s + 14)(s + 15))ω = 30 rad/s
|G(jω)| = dB
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))이다. 이득 여유 12 dB를 주는 이득 K을(를) 구하시오.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))GM = 12 dB
K =

3용액

1.복소수

답: θ = −60.95 °

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

사분면

a = 5, b = −9 → IV

기준각

α = atan(9/5) = 60.95°

편각

θ = −α = −60.95°

답

θ = −60.95°

극형식으로 z = 10.3∠−60.95°.

2.복소수

답: Re(z⁹) = 16

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

극형식

z = 1 − j = √2∠−45°

드무아브르

z⁹ = (√2)⁹∠−405° = 22.63∠−45°

직각 형식

z⁹ = 22.63·(cos −45° + j sin −45°) = 16 − j16
Re(z⁹) = 16

답

Re(z⁹) = 16
3.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.04084 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−244.4)²) = 244.8 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 10/244.8 = 0.04084 A

답

I = 0.04084 A
4.교류 임피던스와 페이저

답: VL = 47.67 V

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2·10⁻⁶) = 4767 rad/s
I = V/R = 5/10 = 0.5 A

인덕터 양단의 전압

XL = ω₀L = 4767·0.02 = 95.35 Ω
VL = I·XL = 0.5·95.35 = 47.67 V

답

VL = 47.67 V

이는 전원 전압의 Q = 9.535배입니다.

5.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.9075

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q1 = 21·tan(arccos 0.75) = 18.52 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

합계

P = 21 + 19 = 40 kW
Q = 18.52 + 0 = 18.52 kvar
S = √(40² + 18.52²) = 44.08 kVA

전체 역률

cos φ = P/S = 40/44.08 = 0.9075 지상

답

cos φ = 0.9075
6.교류 전력과 역률

답: QC = 18.24 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41.41°) = 35.28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23.07°) = 17.04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.24 kvar

답

QC = 18.24 kvar
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: Q = 4.769

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

공진 주파수

ω₀ = 1/√(LC) = 461266 rad/s

선택도

Q = R/(ω₀L) = 2200/(461266·0.001) = 4.769

답

Q = 4.769

대역폭은 1/(2πRC) = 15.39 kHz입니다.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: Q = 4.472

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

공진 주파수

f0 = √(5000·6250) = 5590 Hz

대역폭

BW = 6250 − 5000 = 1250 Hz

선택도

Q = 5590/1250 = 4.472

답

Q = 4.472
9.3상 전력

답: P = 5.12 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = 400/√3 = 230.9 V

상전류

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 230.9/25 = 9.238 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·9.238²·20 = 5.12 kW

답

P = 5.12 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.8이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: Cph = 111.9 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0.8) = 75·0.75 = 56.25 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.92) = 75·0.426 = 31.95 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 24.3 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 8100/(314.2·480²) = 111.9 µF

답

Cph = 111.9 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.7104 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms
i(∞) = Vs/R = 15/20 = 0.75 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.75·(1 − e−10/3.4) = 0.7104 A

답

i = 0.7104 A
12.RC·RL 과도 현상

답: t = 55.32 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms
vC(t) = 5 + (12 − 5)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

9.9 = 5 + (7)·e−t/τ → e−t/τ = (9.9 − 5)/(12 − 5) = 0.7
t = τ·ln((12 − 5)/(9.9 − 5)) = 155.1·ln(1.429) = 55.32 ms

답

t = 55.32 ms
13.테브난·노턴

답: IL = 0.2676 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω단락R2​8 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.182 + 10 = 12.18 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·8/(3+8) = 7.273 V
Rth​ = 12.18 Ω+−Vth​7.273 VRL​15 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7.273/(12.18 + 15) = 0.2676 A
14.테브난·노턴

답: PL = 4.255 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω단락R2​6 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 2 = 3.5 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.5 + 1·1.5 = 6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6 + 1·2 = 8 V
Rth​ = 3.5 Ω+−Vth​8 VRL​6 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 8/(3.5 + 6) = 0.8421 A
PL = IL²·RL = 0.8421²·6 = 4.255 W
15.보드 선도와 여유

답: |G(jω)| = 9.057 dB

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

크기를 곱하기

|G(j30)| = 3150/(√(30² + 14²)·√(30² + 15²)) = 3150/(33.11·33.54) = 2.837

결과

20·log₁₀(2.837) = 9.057 dB

답

|G(jω)| = 9.057 dB
16.보드 선도와 여유

답: K = 77.37

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(4·7) = 5.292 rad/s

위상 교차 주파수에서의 크기

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

필요한 이득

308/K = 1012/20 = 3.981
K = 308/3.981 = 77.37

답

K = 77.37

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