회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−5z₁z₂w

z₁ = 5∠150°, z₂ = 0.5∠110°이 주어졌을 때 w = z₁/z₂의 실수부를 구하시오.

z₁ = 5∠150°z₂ = 0.5∠110°
Re(w) =
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ − 7z² + 25z − 39 = 0의 한 근은 z₁ = 2 + j3이다. 계수는 실수이다. 실근 r을(를) 구하시오.

z₁ = 2 + j3
r =
3.교류 임피던스와 페이저보통
230 V200 HzR = 25 ΩL = 20 mHI

저항과 인덕터가 230 V(실효값), 200 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mH
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
24 V60 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF+−VC​

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VC = V
5.교류 전력과 역률보통
P = 6 kWQSφ

단상 전동기가 230 V 전원에서 지상 역률 0.65로 6 kW를 소비한다. 선전류 I을(를) 구하시오.

P = 6 kWpf = 0.65V = 230 V
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
12 V60 HzRs​ = 20 ΩXs​ = j40 ΩZL​ = ?

12 V(실효값), 60 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 20 + j40 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 12 V (rms)f = 60 HzZs = 20 + j40 Ω
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
f|I|0.707150 kHzf1​ = ?f2​BW

직렬 RLC 회로가 50 kHz에서 공진하고 Q = 2.5입니다. 낮은 쪽 반전력 주파수 f1을(를) kHz 단위로 정확하게 구하시오.

f0 = 50 kHzQ = 2.5
f1 = kHz
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
f|I|0.7071f0​ = ?10 kHz12 kHzBW

공진 곡선의 반전력 주파수가 10 kHz와 12 kHz입니다. 이 둘의 기하평균으로 공진 주파수를 구한 다음 품질 계수 Q을(를) 구하시오.

f1 = 10 kHzf2 = 12 kHz
Q =
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 208 VZ = 15 + j20 Ω상당

상당 임피던스가 15 + j20 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 208 VZ = 15 + j20 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 120 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 120 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 2.2 kΩC10 µF+−vC​

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 40 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 10 VR1 = 6.8 kΩR2 = 2.2 kΩC = 10 µFt = 40 ms
vC = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​6 Vt = 0R = 6.8 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 12 V이다. vC이(가) 8.4 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 6 VR = 6.8 kΩC = 22 µFvC(0) = 12 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
Rth = Ω
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAIs​3 ABab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 36 VIs = 3 AR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
15.보드 선도와 여유보통
vin​L = 50 mHC = 0.47 µFR = 100 Ωvout​

그림의 직렬 RLC 대역 통과 필터에서 출력은 R = 100 Ω 양단에서 취하며, L = 50 mH, C = 0.47 µF입니다. 중심(공진) 주파수 f0을(를) Hz 단위로 구하시오.

R = 100 ΩL = 50 mHC = 0.47 µF
f0 = Hz
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)11101010010010001000−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 700/(s(s + 20))이다. 위상 여유 PM을(를) 도 단위로 구하시오.

L(s) = 700/(s(s + 20))
PM = °

3용액

1.복소수

답: Re(w) = 7.66

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

w의 절댓값과 편각

|w| = 5 / 0.5 = 10
θ = 150° − 110° = 40°

직각 형식

Re(w) = 10·cos(40°) = 7.66
Im(w) = 10·sin(40°) = 6.428
Re(w) = 7.66

답

Re(w) = 7.66
2.복소수

답: r = 3

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

켤레 쌍

z₂ = 2 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 3²) = z² − 4z + 13

이차식 인수 분리

z³ − 7z² + 25z − 39 = (z² − 4z + 13)(z − 3)

실근

r = 3

답

r = 3

근의 합으로 검산하세요: z₁ + z₂ + r = 4 + 3 = 7 = −(−7).

3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 44.85 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XL = ωL = 2π·200·0.02 = 25.13 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

IR = V/R = 230/25 = 9.2 A
IX = V/XL = 230/25.13 = 9.151 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(IR² + IX²) = √(9.2² + 9.151²) = 12.98 A

위상각

인덕터 전류는 V보다 뒤지므로 전체 전류도 뒤지고 각은 양수입니다.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(9.151/9.2) = 44.85°

답

φ = 44.85°
4.교류 임피던스와 페이저

답: VC = 27.32 V

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−227.6)²) = 233 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/233 = 0.103 A

커패시터 전압

VC = I·XC = 0.103·265.3 = 27.32 V

답

VC = 27.32 V
5.교류 전력과 역률

답: I = 40.13 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

선전류

일을 하는 것은 유효분뿐이므로 역률로 나눕니다.

I = P/(V·cos φ) = 6000/(230·0.65) = 40.13 A

답

I = 40.13 A
6.교류 전력과 역률

답: C = 66.31 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

ZL = Zs* = 20 − j40 Ω

정전 용량

XC = 40 Ω → C = 1/(2π·60·40) = 66.31 µF

답

C = 66.31 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: f1 = 40.99 kHz

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

제곱근 항

√(1 + 1/(4·2.5²)) = 1.02

낮은 쪽 반전력 주파수

f1 = 50000·(1.02 − 0.2) = 40990 Hz = 40.99 kHz

답

f1 = 40.99 kHz

높은 쪽은 f₂ = 60.99 kHz입니다. 확인: f₂ − f₁ = 20 kHz = f₀/Q.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: Q = 5.477

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

공진 주파수

f0 = √(10000·12000) = 10954 Hz

대역폭

BW = 12000 − 10000 = 2000 Hz

선택도

Q = 10954/2000 = 5.477

답

Q = 5.477
9.3상 전력

답: P = 3.115 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = VL = 208 V

상전류

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8.32 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·8.32²·15 = 3.115 kW

답

P = 3.115 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: Cph = 838.2 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 50.56 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16853/(377·230.9²) = 838.2 µF

답

Cph = 838.2 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: vC = 2.224 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·2.2/(6.8 + 2.2) = 1.662 kΩ
vC(∞) = 10·2.2/(6.8 + 2.2) = 2.444 V

시정수

τ = Rth·C = 1.662·10 = 16.62 ms

충전 곡선

vC(t) = 2.444·(1 − e−40/16.62) = 2.224 V

답

vC = 2.224 V
12.RC·RL 과도 현상

답: t = 137.1 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 22 µF = 149.6 ms
vC(t) = 6 + (12 − 6)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

8.4 = 6 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (8.4 − 6)/(12 − 6) = 0.4
t = τ·ln((12 − 6)/(8.4 − 6)) = 149.6·ln(2.5) = 137.1 ms

답

t = 137.1 ms
13.테브난·노턴

답: Rth = 9.875 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​5 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 8 = 9.875 Ω
14.테브난·노턴

답: IN = −1.302 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​25 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.143 + 8 = 15.14 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 25.71 + (−3)·7.143 = 4.286 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4.286 + (−3)·8 = −19.71 V
IN​1.302 ARth​15.14 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = −19.71/15.14 = −1.302 A
15.보드 선도와 여유

답: f0 = 1038 Hz

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

공진 주파수

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·4.7 × 10⁻⁷) = 6523 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1038 Hz

답

f0 = 1038 Hz
16.보드 선도와 여유

답: PM = 41.04 °

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

이득 교차

ω⁴ + 400ω² − 490000 = 0
ω² = (−400 + √(160000 + 4·490000))/2 = 528
ωc = 22.98 rad/s

위상 여유

∠L(jωc) = −90° − atan(22.98/20) = −139°
PM = 180° + ∠L = 41.04°

답

PM = 41.04°

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