회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm11−1−122−2−233−3−3zABCD

그림은 z = −1 − j을(를) 보여 줍니다. w = 0.5∠−90°일 때 z/w을(를) 나타내는 점을 클릭하세요.

z = −1 − jw = 0.5∠−90°
  1. 1A (2 − j2)
  2. 2B (−2 + j2)
  3. 3C (−2 − j2)
  4. 4D (1 − j)
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−233−3−3θz

(1 − j3)⁴의 실수부를 구하시오.

z = 1 − j3n = 4
Re(z⁴) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
100 V500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
4.교류 임피던스와 페이저어려움
VfR = 15 ΩL = 100 mHC = 1 µF

직렬 RLC 회로의 R = 15 Ω, L = 100 mH, C = 1 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 15 ΩL = 100 mHC = 1 µF
B = Hz
5.교류 전력과 역률보통
240 VZ8 + j6 ΩI

임피던스 Z = 8 + j6 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 피상 전력 S을(를) 구하시오.

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
S = VA
6.교류 전력과 역률어려움
P1​ = 72 kWQ1​S1​φ

200 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.6의 72 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?

Smax = 200 kVAP1 = 72 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
V10 Ω2.2 mH47 nF

직렬 RLC 회로의 R = 10 Ω, L = 2.2 mH, C = 47 nF입니다. 대역폭 BW을(를) Hz 단위로 구하시오.

R = 10 ΩL = 2.2 mHC = 47 nF
BW = Hz
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
V5 ΩLC = ?

전체 저항 5 Ω, 공진 주파수 500 kHz, 대역폭 10 kHz인 직렬 RLC 필터를 설계합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.

R = 5 Ωf0 = 500 kHzBW = 10 kHz
C = nF
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 400 VZ = 12 + j16 Ω상당

상당 임피던스가 12 + j16 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 400 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 400 VZ = 12 + j16 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 120 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 120 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 95%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 150 mH
t = ms
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​5 Vt = 0R = 100 kΩC?+−vC​

타이머가 t = 0에 5 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 10 ms에 커패시터 전압이 3 V에 도달할 때 작동해야 한다. R = 100 kΩ일 때 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 5 VVth = 3 VT = 10 msR = 100 kΩ
C = µF
13.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩARL​3 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 3 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩRL = 3 Ω
IL = A
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​4 ABRL​12 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 12 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩRL = 12 Ω
IL = A
15.보드 선도와 여유보통
vin​R = 22 kΩC = 2.2 nFvout​

그림의 RC 저역 통과 필터은(는) R = 22 kΩ, C = 2.2 nF을(를) 가집니다. 9.9 kHz의 정현파 입력이 가해집니다. 이득 |H| = |vout/vin|을 dB로 구하시오.

R = 22 kΩC = 2.2 nFf = 9.9 kHz
|H| = dB
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))이다. 이득 여유 2 dB를 주는 이득 K을(를) 구하시오.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))GM = 2 dB
K =

3용액

1.복소수

답: A (2 − j2)

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

w의 효과

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

그 점

z/w = 2 − j2 → A

답

A (2 − j2)
2.복소수

답: Re(z⁴) = 28

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

단계별 거듭제곱

z² = (1 − j3)(1 − j3) = −8 − j6
z³ = (−8 − j6)(1 − j3) = −26 + j18
z⁴ = (−26 + j18)(1 − j3) = 28 + j96

드무아브르로 검산

z = 3.162∠−71.57° → z⁴ = 100∠73.74°
Re(z⁴) = 28

답

Re(z⁴) = 28
3.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.3507 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (282.3)²) = 285.1 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 100/285.1 = 0.3507 A

답

I = 0.3507 A
4.교류 임피던스와 페이저

답: B = 23.87 Hz

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.1·1·10⁻⁶)) = 503.3 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.1/(1·10⁻⁶)) = 21.08

대역폭

B = f0/Q = 503.3/21.08 = 23.87 Hz

답

B = 23.87 Hz
5.교류 전력과 역률

답: S = 5760 VA

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

피상 전력

S = V·I = 240·24 = 5760 VA

답

S = 5760 VA
6.교류 전력과 역률

답: ΔP = 103.5 kW

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

기존 부하의 무효 전력

Q1 = 72·tan(arccos 0.6) = 96 kvar

최대 전체 유효 전력

정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 96²) = 175.5 kW

추가 유효 전력

ΔP = 175.5 − 72 = 103.5 kW

답

ΔP = 103.5 kW
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: BW = 723.4 Hz

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

rad/s 단위의 대역폭

R/L = 10/0.0022 = 4545 rad/s

Hz 단위의 대역폭

BW = 4545/(2π) = 723.4 Hz = 723.4 Hz

답

BW = 723.4 Hz

f₀ = 15.65 kHz이면 Q = 21.64입니다.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: C = 1.273 nF

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

대역폭으로부터 구한 인덕턴스

L = R/(2π·BW) = 5/(2π·10000) = 7.958 × 10⁻⁵ H

공진 주파수로부터 구한 커패시턴스

C = 1/((2π·500000)²·7.958 × 10⁻⁵) = 1.273 × 10⁻⁹ F = 1.273 nF

답

C = 1.273 nF

Q = f₀/BW = 50.

9.3상 전력

답: P = 14.4 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = VL = 400 V

상전류

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
Iph = 400/20 = 20 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·20²·12 = 14.4 kW

답

P = 14.4 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: Cph = 1088 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 65.63 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 21878/(377·230.9²) = 1088 µF

답

Cph = 1088 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: t = 8.987 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0.2 A

시간에 대해 풀기

0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −3·ln(0.05) = 8.987 ms

답

t = 8.987 ms
12.RC·RL 과도 현상

답: C = 0.1091 µF

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

필요한 시정수

3 = 5·(1 − e−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 3))
τ = 10/0.9163 = 10.91 ms

정전 용량

kΩ × µF는 밀리초입니다.

C = τ/R = 10.91/100 = 0.1091 µF

답

C = 0.1091 µF
13.테브난·노턴

답: IL = 0.2597 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω단락R2​4 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 10 = 12.4 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·4/(6+4) = 4 V
Rth​ = 12.4 Ω+−Vth​4 VRL​3 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 4/(12.4 + 3) = 0.2597 A
14.테브난·노턴

답: IL = 3.13 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​5 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 20 = 22.5 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + 4·2.5 = 28 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28 + 4·20 = 108 V
Rth​ = 22.5 Ω+−Vth​108 VRL​12 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 108/(22.5 + 12) = 3.13 A
15.보드 선도와 여유

답: |H| = −10.03 dB

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

차단 주파수

ωc = 1/(RC) = 1/(22000·2.2 × 10⁻⁹) = 20661 rad/s
fc = 3288 Hz → f/fc = 9900/3288 = 3.011

이득

|H| = 1/√(1 + 3.011²) = 0.3152
20·log₁₀(0.3152) = −10.03 dB

답

|H| = −10.03 dB
16.보드 선도와 여유

답: K = 244.7

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(4·7) = 5.292 rad/s

위상 교차 주파수에서의 크기

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

필요한 이득

308/K = 102/20 = 1.259
K = 308/1.259 = 244.7

답

K = 244.7

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